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专题2.2直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
五、切线长问题
二、圆的弦长问题
六、数形结合求圆的范围最值
三、圆内接三角形的面积
七、韦达定理的应用
四、过点求切线方程
知识点1直线与圆的位置关系
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法:设圆心到直线的距离
代数法:由消元得到一元二次方程,判别式为
图形
知识点2圆的弦长
圆的弦长与弦心距的关系:;常需结合点到直线的距离公式.
知识点3圆的切线与切点弦方程
过圆上一点的切线方程为:.
重难点一直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系是()
A.相交且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 C.相切 D.相离
2.在同一平面直角坐标系中,直线与圆的位置不可能为(????)
A. B.
C. D.
3.已知圆,则直线与圆C(???)
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
4.已知直线l:及圆C:,则“”是“直线l与圆C相切”的????(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.若直线与圆有交点,则(????)
A. B.
C. D.
6.点在圆外,则直线与该圆的位置关系为.
判断直线与圆位置关系的两种方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
重难点二圆的弦长问题
7.(多选)已知圆,直线.则以下命题正确的有()
A.直线l恒过定点 B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最长时,直线的方程为
8.圆被直线截得的弦长等于.
9.已知直线(其中k为常数),圆,直线l与圆O相交于A,B两点,则AB长度最小值为.
10.已知直线与圆交于两点,写出满足“”的实数的一个值:.
11.过坐标原点的直线l与圆相交,且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,则l的斜率为.
12.已知关于的方程:.
(1)当为何值时,方程表示圆;
(2)若圆C与直线相交于两点,且,求的值.
求弦长的常用方法是几何法:由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用求解
重难点三圆内接三角形的面积
13.已知直线与交于A,B两点,写出满足的面积为的实数m的一个值.
14.已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.
(1)求圆的方程;
(2)已知直线与圆相交于两点,求的面积.
15.已知圆.
(1)过点作圆的切线,求切线的斜率
(2)直线与圆交于两点,是上的动点,求三角形面积的最大值
16.已知直线l:与圆C:相切.
(1)求实数a的值及圆C的标准方程;
(2)已知直线m:与圆C相交于A,B两点,若的面积为2,求直线m的方程.
重难点四过点求切线方程
17.(多选)过点作圆的切线,所得切线方程为(????)
A. B. C. D.
18.已知圆,则圆在点处的切线方程为.
19.已知,过点恰好只有一条直线与圆E:相切,则,该直线的方程为.
20.已知圆经过三点.
(1)求圆的方程;
(2)求过点且与圆相切的直线的方程.
21.已知圆的方程为,点在圆内.
(1)求实数的取值范围;
(2)求过点且与圆相切的直线的方程.
22.过原点的圆的圆心为,则原点处与圆相切的直线的倾斜角为(????)
A.3 B. C. D.
求切线方程的常用方法
(1)求过圆上一点的圆的切线方程的方法
先求切点与圆心的连线所在直线的斜率,再由垂直关系知切线的斜率为,由点斜式方程可得切线方程.若或不存在,则切线的斜率不存在或为0,从而可直接得切线方程为或.
(2)求过圆外一点的圆的切线方程的方法
①几何法:设切线方程为,即,由圆心到直线的距离等于半径长,可求得k,切线方程即可求出.
②代数法:设切线方程为,即,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由,求得k,切线方程即可求出.
注意:过圆外一点的切线必有两条,当几何法或代数法求得的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.
重难点五切线长问题
23.圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为()
A. B. C. D.
24.已知P为直线上一点,过点P作圆的一条切线,切点为A,则的最小值为(????)
A.1 B. C. D.2
25.已知直线:与圆:,过直线上的任意一点作圆的切线,,切点分别为A,,则的最大值为(????)
A. B. C. D.
26.已知过坐标原点O作的两条切线,切点为A、B,则四边形的面积为(????)
A.1 B.3
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