专题2-1 基本不等式10类常考题型(解析版)- 2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破.docx

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【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破

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专题2-1基本不等式10类常考题型

基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型

高一学生初见它,笑容就渐渐消失,直呼:“这是基本不懂式”;

高二学生再见它,小小眼睛装大大的疑惑:“啊?这道题还得用它啊。”

高三学生刷到它相关的题,人生若只如初见:“我们高一高二的时候学过这个?”

总览

总览

题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】直接利用不等式求最值 1

【题型2】凑配法求最值 3

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法 5

【题型4】“1”的妙用(2):“1”的代换 7

【题型5】分离常数型 9

【题型6】换元法(1):单换元 11

【题型7】换元法(2):双换元 13

【题型8】二次比一次型 15

【题型9】判断不等式是否能成立 17

【题型10】基本不等式与几何图形结合 21

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】直接利用不等式求最值

基本不等式:如果,那么,当且仅当时,等号成立.(仅限和与积)

常用不等式:若,则,当且仅当时取等号;(从左至右为积,和,平方和)

已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy()

A.有最大值为1

B.有最小值为1

C.有最大值为

D.有最小值为

【答案】C

【解析】,,且,(1),

当且仅当,即,时,取等号,故的最大值是:,故选:.

若,,则的最小值为______.

【答案】

【简析】,当且仅当

若,,且,则的最小值是________

【答案】

【详解】,则,

所以,当且仅当时,等号成立,

所以有最小值

已知,则的最小值是.

【答案】16

【解析】由题意得,解得,

等号成立当且仅当,所以的最小值是16.

故答案为:16.

【巩固练习1】已知,则的最大值为.

【答案】

【解析】,由不等式可知,

当且仅当时等号成立,即的最大值为.

【巩固练习2】若,,则的最小值为______.

【答案】2

【简析】

【巩固练习3】若,则的最小值是;此时的值为.

【答案】4;1

【解析】因为,所以,当且仅当,即时等号成立.

故的最小值是4,此时的值为1.

【巩固练习4】已知,,且,则的最小值是________

【答案】

【详解】由于,所以,当且仅当时等号成立

【题型2】凑配法求最值

配凑法:加上一个数或减去一个数使和(积)为定值,然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

(1)模型一:,当且仅当时等号成立;

(2)模型二:,当且仅当时等号成立

当时,()

A.有最大值1B.有最大值2C.有最小值5D.有最小值

【答案】A

【解析】当时,,,

所以,

当且仅当即时等号成立,

所以有最大值1,没有最小值,故选:A.

已知实数x>3,则的最小值是()

A.24

B.12

C.6

D.3

【解题思路】4x+9x-3=4(x﹣3)

【解答过程】解:∵x>3,∴x﹣3>0,

4x+9x-3=4(x﹣3)+9

当且仅当4x﹣12=9x-3时,取得最小值

【巩固练习1】若,则的最小值为.

【答案】0

【解析】由,得,

所以,

当且仅当即时等号成立.

【巩固练习2】函数()的最小值为.

【答案】

【解析】因为,所以,

所以,

当且仅当时,即时,等号成立,

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法

方法总结:乘“1”法就是指凑出1,利用乘“1”后值不变这个性质,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值.

主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题,先将转化为,再用基本不等式求最值

注意:验证取得条件.

若,且,则的最小值为.

【答案】

【解析】由于,所以,

当且仅当,即时等号成立,

故答案为:

设为正实数,且,则的最小值为

【答案】

【解析】由,得,

则,

当且仅当,即时等号成立,

所以的最小值为.

设,,,则的最小值为()

A. B. C. D.3

【答案】C

【分析】由不等式“1”的代换求解即可.

【详解】因为,所以,

因为,,所以

.

当且仅当,即时取等.

【巩固练习1】若,且,则的最小值为.

【答案】5

【解析】因为,且,则,

可得,

当且仅当,即时,等号成立,

所以的最小值为5.故答案为:5.

【巩固练习2】利用不

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