专题2-1 基本不等式10类常考题型（原卷版）- 2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破.docx

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破

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专题2-1基本不等式10类常考题型

基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型

高一的同学初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；

高二的同学再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”

高三的同学刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”

总览

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题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】直接利用不等式求最值 1

【题型2】凑配法求最值 3

【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 4

【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 5

【题型5】分离常数型 6

【题型6】换元法（1）：单换元 7

【题型7】换元法（2）：双换元 7

【题型8】二次比一次型 8

【题型9】判断不等式是否能成立 9

【题型10】基本不等式与几何图形结合 10

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】直接利用不等式求最值

基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）

常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）

已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（）

A．有最大值为1

B．有最小值为1

C．有最大值为

D．有最小值为

若，，则的最小值为______．

若，，且，则的最小值是________

已知，则的最小值是．

【巩固练习1】已知，则的最大值为．

【巩固练习2】若，，则的最小值为______．

【巩固练习3】若,则的最小值是;此时的值为.

【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________

【题型2】凑配法求最值

配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

常见的配凑法求最值模型

(1)模型一：，当且仅当时等号成立；

(2)模型二：，当且仅当时等号成立

当时，（）

A．有最大值1B．有最大值2C．有最小值5D．有最小值

已知实数x＞3，则的最小值是（）

A．24

B．12

C．6

D．3

【巩固练习1】若，则的最小值为.

【巩固练习2】函数（）的最小值为．

【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法

方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．

主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件．

若，且，则的最小值为．

设为正实数，且，则的最小值为

设，，，则的最小值为（）

A． B． C． D．3

【巩固练习1】若，且，则的最小值为．

【巩固练习2】已知，且.

（1）求的最小值，（2）求的最小值.

【巩固练习3】（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为.

【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换

方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．

若，，且，则有最小是________

【巩固练习1】已知，，，则的最小值为．

【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是________

【巩固练习3】已知实数x，满足，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．8

【题型5】分离常数型

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

例1：（x0）

例2：

的最小值为（）

A．4B．5C．7D．9

已知，则的最小值是______，此时a=______．

【巩固练习1】已知，则的最小值为.

【巩固练习2】已知，，，则的最小值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【巩固练习3】的最小值是______.

【巩固练习4】已知，则的最小值是______，此时a=______．

【题型6】换元法（1）：单换元

对于两个分式，且分母有加减符号时可以考虑整体法或换元法配凑

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

单分母换元：把其中一个分母进行换元

若，则的最小值为______.

【巩固练习1】已知正数、满足，求的最小值；

【巩固练习2】已知，则