四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期4月月考数学试题.docx

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四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期4月月考数学试题

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题

1.若,,则复数等于(????)

A. B. C. D.

2.的值等于()

A. B. C.1 D.2

3.已知向量满足,,,则(????)

A. B. C. D.

4.在中,角的对边分别为,若,则(????)

A. B.2 C. D.

5.直三棱柱中,,P为BC中点,,Q为上一点,,则经过A,P,Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是(????)

A. B.4 C. D.5

6.在中,动点P满足,则P点轨迹一定通过的(????)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

7.如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,,若,则的值是

A. B.2 C. D.3

8.已知,则的最大值为(????)

A. B. C. D.

二、多选题

9.已知,则下列说法正确的是(????)

A.z在复平面内对应的点的坐标为

B.

C.z在复平面内对应的点与点关于原点对称

D.

10.已知向量,,则下列命题正确的是(????)

A.若,则

B.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为

C.若与共线,则为或

D.存在,使得

11.在中,角的对边分别是,若,,则(????)

A. B.

C. D.的面积为

12.在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则(????)

A.存在点M使得

B.四棱锥外接球的表面积为

C.直线PC与直线AD所成角为

D.当动点M到直线BD的距离最小时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是

三、填空题

13.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是.

14.若函数为偶函数,则.

15.已知函数在上的值域为,则的取值范围为.

16.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在中,角所对的边分别为,则的面积.若,且,则面积的最大值为.

四、解答题

17.已知向量.

(1)若向量,求向量与向量的夹角的大小;

(2)若向量,求向量在向量方向上的投影向量的坐标.

18.已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;

(2)求函数在区间上的最大值、最小值.

19.如图:在四棱锥中,已知底面是菱形且,侧棱,为线段上的中点,为线段上的定点.

(1)求证:平面;

(2)若,,,且直线平面,求三棱锥的体积.

20.如图,四边形中,,,设.

(1)若ΔABC面积是面积的4倍,求;

(2)若,求.

21.已知锐角三角形的内角A,B,C所对的边分别记作a,b,c,满足,且.

(1)求;

(2)若点,分别在边和上,且将分成面积相等的两部分,求的最小值.

22.已知函数,其中.

(1)若存在,使得,求的最小值;

(2)令,若关于的方程有两个根,求当时,实数的取值范围.

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参考答案:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

B

C

A

A

B

BCD

AB

题号

11

12

答案

AC

BCD

1.B

【分析】利用复数相等的条件即可得解.

【详解】由,得,则,

根据复数相等的充要条件得,解得,

故.

故选:B.

2.A

【分析】先根据诱导公式化角,再根据二倍角正余弦公式化简求值..

【详解】.

选A

【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式,考查基本求解能力.

3.C

【分析】利用平方的方法化简已知条件,从而求得

【详解】依题意,,

两边平方得:,

两式相减并化简得,

所以,

由于,所以.

故选:C

4.B

【分析】根据题意,由正弦定理求得,可得为等腰直角三角形,可求得.

【详解】由,得,即,

所以,则,则为等腰直角三角形,

所以,

故选:B.

5.C

【分析】如图,在上取点M,使得,取的中点N,连接,则,利用线面垂直的判定定理与性质可得,则截面为直角梯形APQM,结合题意求出QM、AP、PM,由梯形的面积公式计算即可求解.

【详解】如图,在上取点M,使得,取的中点N,连接,

则,又,所以,

得A、P、M、Q四点共面,又,为BC的中点,所以,

由,得,又平面,

所以平面,由平面,得,

所以

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