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四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若,,则复数等于(????)
A. B. C. D.
2.的值等于()
A. B. C.1 D.2
3.已知向量满足,,,则(????)
A. B. C. D.
4.在中,角的对边分别为,若,则(????)
A. B.2 C. D.
5.直三棱柱中,,P为BC中点,,Q为上一点,,则经过A,P,Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是(????)
A. B.4 C. D.5
6.在中,动点P满足,则P点轨迹一定通过的(????)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
7.如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,,若,则的值是
A. B.2 C. D.3
8.已知,则的最大值为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知,则下列说法正确的是(????)
A.z在复平面内对应的点的坐标为
B.
C.z在复平面内对应的点与点关于原点对称
D.
10.已知向量,,则下列命题正确的是(????)
A.若,则
B.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为
C.若与共线,则为或
D.存在,使得
11.在中,角的对边分别是,若,,则(????)
A. B.
C. D.的面积为
12.在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则(????)
A.存在点M使得
B.四棱锥外接球的表面积为
C.直线PC与直线AD所成角为
D.当动点M到直线BD的距离最小时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是
三、填空题
13.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是.
14.若函数为偶函数,则.
15.已知函数在上的值域为,则的取值范围为.
16.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在中,角所对的边分别为,则的面积.若,且,则面积的最大值为.
四、解答题
17.已知向量.
(1)若向量,求向量与向量的夹角的大小;
(2)若向量,求向量在向量方向上的投影向量的坐标.
18.已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值、最小值.
19.如图:在四棱锥中,已知底面是菱形且,侧棱,为线段上的中点,为线段上的定点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,且直线平面,求三棱锥的体积.
20.如图,四边形中,,,设.
(1)若ΔABC面积是面积的4倍,求;
(2)若,求.
21.已知锐角三角形的内角A,B,C所对的边分别记作a,b,c,满足,且.
(1)求;
(2)若点,分别在边和上,且将分成面积相等的两部分,求的最小值.
22.已知函数,其中.
(1)若存在,使得,求的最小值;
(2)令,若关于的方程有两个根,求当时,实数的取值范围.
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
C
A
A
B
BCD
AB
题号
11
12
答案
AC
BCD
1.B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由,得,则,
根据复数相等的充要条件得,解得,
故.
故选:B.
2.A
【分析】先根据诱导公式化角,再根据二倍角正余弦公式化简求值..
【详解】.
选A
【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式,考查基本求解能力.
3.C
【分析】利用平方的方法化简已知条件,从而求得
【详解】依题意,,
两边平方得:,
,
,
两式相减并化简得,
所以,
由于,所以.
故选:C
4.B
【分析】根据题意,由正弦定理求得,可得为等腰直角三角形,可求得.
【详解】由,得,即,
所以,则,则为等腰直角三角形,
所以,
故选:B.
5.C
【分析】如图,在上取点M,使得,取的中点N,连接,则,利用线面垂直的判定定理与性质可得,则截面为直角梯形APQM,结合题意求出QM、AP、PM,由梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】如图,在上取点M,使得,取的中点N,连接,
则,又,所以,
得A、P、M、Q四点共面,又,为BC的中点,所以,
由,得,又平面,
所以平面,由平面,得,
所以
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