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两直线的交点坐标与距离公式

考点分析一、两直线的交点已知两条直线l:Ax+By+C=0与1111l:Ax+By+C=0的交点坐标对应的是方程组2222Ax+By+C=0111的解，Ax+By+C=0222返回目录

相交于一点，②其中①当AB-AB≠0时,两条直线1221当AB-AB=0且AC-AC≠0（或BC-BC≠0）时,两12211221平行1221条直线无交点,即122112，③当AB-AB=0且AC-AC=0(或BC-BC=0)时,两条直线有无数个公共点,即2112重合21.二、距离公式1.两点间的距离平面上两点P(x,y),P(x,y)间的距离111222|PP|=.122.点到直线的距离平面上一点P(x,y)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离11d=.返回目录

3.两平行线的距离若l,l是平行线，求l,l距离的方法：1212(1)求一条直线上一点到另一条直线的距离.(2)设l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0,则1122d=.返回目录

题型分析考点一两直线位置关系的判定已知直线l:(m+3)x+4y=5-3m,l:2x+(m+5)y=8,问m为12何值时:①l∥l;②l与l重合;1212③l与l相交;④l与l垂直.1212【分析】利用两直线平行、重合、相交、垂直的条件求解.返回目录

【解析】①由，得m=-7,∴当m=-7时,l∥l.12②由∴当m=-1时，l与l重合.，得m=-1,12③由，得m≠-1且m≠-7,∴当m≠-1且m≠-7时，l与l相交.12④由(m+3)·2+4(m+5)=0,得m=-,∴当m=-时，l与l垂直.12返回目录

【评析】（1）垂直有两种情况：一种是一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜率都存在，且两个斜率的积为-1.（2）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都不存在；另一种就是斜率都存在并且相等.（3）两条直线重合即方程是相同的.返回目录

＊对应演练＊已知两直线l：mx+8y+n=0和l:2x+my-1=0.试确定12m,n的值，使（1）l与l相交于点P(m,-1);12（2）l∥l;12（3）l⊥l，且l在y轴上的截距为-1.121返回目录

（1）∵m-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7.2（2）由m·m-8×2=0，得m=±4,由8×(-1)-n·m≠0,得n≠±2,即m=4,n≠-2时，或m=-4,n≠2时，l∥l.21（3）当且仅当m·2+8·m=0，即m=0时，l⊥l，21又-=-1,∴n=8.即m=0，n=8时,l⊥l，且l1在y轴上的截距为-1.12返回目录

考点二距离公式的应用已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l：x+y+1=0，l：12x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.【分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用两点间距离公式求解.【解析】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l，l的交点分别是12A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.返回目录

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，分别与直线l，l的方程联立,12y=k(x-3)+1x+y+1=0,y=k(x-3)+1x+y+6=0,解得A().由由解得B()由两点间的距离公式,得+(解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.()22)=25,返回目录

解法二：设直线l与l，l分别相交于A（x，121y），B（x，y），122则x+y+1=0，x+y+6=0，1122两式相减，得（x-x）+（y-y）=5，①②1212又（x-x）2+（y-y）=25，21212x-x=5x-x=01212联立①②可得或y-y=0y-y=5.1212由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°.故所求的直线方程为x=3或y=1.返回目录

【评析】这类题一般有三种情况：被两已知平行直线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距离时无解.当a=d时有唯一解；当a＞d时有且只有两解.本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交点坐标，利用整体思想求解.返回目录

＊对应演练＊求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线l的方程.解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2