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第九章两因素及多因素方差分析

两个新名词主效应n交互作用n

简单效应在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响。n在B上，A-A=6121在B上，A-A=6221简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。

主效应由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应，实际是简单效应的平均。nA因素的主效应：

同样，B因素的主效应：

交互作用交互作用(互作)在多因素试验中，n一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，其实际就是某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化。

A（在B水平上）＝AB－AB＝28－18＝1012111A（在B水平上）＝AB－AB＝22－30＝－822212显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为：AB＝（AB＋AB）－（AB＋AB）11221221

【例】假设学生分两类：在校和在职。把两类学生随机分成两组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法，考试结果如下表。课堂讲授交互式教学-15在校学职学生+15-15+15可见课堂讲授的方式更适合于在校生，交互式教学方式更适合于在职生。在这种情况下我们说两个因素之间存在着交互作用。n

交互作用示意图h2h1

两因素交叉分组实验设计将两个因素的各水平交叉分组，进行实验（或试验）的设计。n可以检验各因素的主效应，还可检验交互作用。n

两因素交叉分组实验设计一般格式

求和公式：

离差平方和的分解

离差平方和的分解

自由度的分解

各因素的均方

双因素方差分析表

双因素方差分析的步骤双因素方差分析的步骤与单因素分析类似，主要包括以下步骤：n第一步：方差齐性检验n

第二步：提出零假设和备择假设n要说明因素A有无显著影响：n要说明因素B有无显著影响：n

第二步：提出零假设和备择假设n要说明两个因素的交互作用是否显著：n

第三步：计算统计量n平方和的简易计算法：

第四步：列方差分析表n第五步：结论n

【例1】为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。

发酵实验方差分析表

无重复实验时的两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n=1）。n无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n都改为1。n

两因素交叉分组实验设计一般格式（无交互作用）

【例2】下表是4种种植密度和4种施肥量的小麦大区产量（编码后数据）。现在需判断不同施肥量、不同种植密度对产量是否有显著影响。

解：根据经验，密度与施肥量之间不存在交互作用

解：方差分析表密度间的产量差异在0.05水平上显著，施肥量之间的产量差异在0.01水平上极显著。

【例3】判断例2中密度与施肥量间是否存在交互作用。解：H：密度与施肥量间不存在交互作用0H：密度与施肥量间存在交互作用A

【例3】判断例2中密度与施肥量间是否存在交互作用。解：FF，因此，没有充分证据表明数据间存在互作。0.05

多重比较Duncan检验法n要比较A因素不同水平对实验结果的影响n将B固定在某一水平上，在该水平上比较A因素各个水平的平均值。n要比较B因素不同水平对实验结果的影响n将A固定在某一水平上，在该水平上比较B因素各个水平的平均值。n

【例1】为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。问：温度对产量有什么影响？

1.产量排序（由高到低）

2.求R值k在原料2上，温度1（30℃）与温度2（35℃）对产量的影响刚刚达到显著，而温度1（30℃）与温度3（40℃）对产量的影响达到极显著，温度2（35℃）与温度3（40℃）对产量的影响也达到极显著。

缺失数据的估计弥补缺失数据的原则：n补上的数据使误差平方和最小n

【例】缺失一个数据的估计表使最小

为了使达到最小值令

缺失数据方差分析注意事项自由度：缺失1个数据，总自由度和误差n项自由度各减1，因素自由度不变；处理项平方和偏大n

方差分析应满足的3个条件可加性n正态性n方差齐性n

数据转换平方根转换Squareroottransformationn对数转换Logarithmictransformationn反正弦转换Arcsinetransformationn

数据转换平方根转换Squareroottransformationn适用于泊松分布的数据，如单位面积内的菌n落数，一定区域内某种昆虫或某种植物数，放射性物质在单位时间内放射的次数等等转换的方法是求出原数据的平方根。若原观n察