分组检测修订版.pdf

血样的分组检验

王飞，邹熙媛，戴晓霞

（理学院信计0901，物联网自动化0901，物联网电信0903）

摘要

随着生产力的发展，现在的医学水平也在不断进步，对于很多疾病的检测都

转化成了对待测者体内血液进行抽样化验。一般情况下，血液呈现情况分为阴性

和阳性两种。血液呈现阳性的人则代表患了该种病。而对于血液抽样检测这个过

程，为了节约抽样所需成本费用则希望抽样的次数少一点，现有一种分组抽样验

血的办法在一定条件下可以减少血液抽样的次数。在这里，将抽样次数作为概率

论中的离散型随机变量，通过建立数学期望模型分析分组与不分组两种方式每个

人所需检验次数的数学期望。

在问题一中，我们通过适当假设与分析得到：不分组时，每个人所需要检验

的次数就是1；分组时，每个人所需检验次数的数学期望模型为：

E(ξ)=1-(1-p)k+1/k

由于k表示每组人数，我们将它连续化再利用高等数学知识进行分析，通过将

E(ξ)与1进行比较得出两种分组方式的优劣，得出可以进行分组的条件。

在问题二中，需要求解给定p的条件下如何选定每组人数k使得所需检验次

数最少，我们利用问题一中所求出来的数学期望模型进一步分析，求出在给定p

的条件下，E(ξ)取最小值时的k值。

在分析问题的过程中我们发现，现有的分组方法可以进行适当优化——二次

分组。而且结合实际将这种思想所建立的模型推广到其他检测中，例如一些工业

产品中的检测（如灯泡灯丝是否断了）也可以用到这种思想构造出一种“串联模

型”。

关键词：数学模型概率论数学期望分组检测二次分组工业产品检测串联

模型

1问题的提出

在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽查N个人的血，可以有两

种方法进行：（1）将每个人的血分别去捡；（2）按k个人一组进行分组，把从k

个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液程阴性反应，就说明这k个

人的血液呈阴性反应，这样这k个人的血就只需验一次；如呈阳性，则再对这k

个人的血分别化验。这样这k个人的血总共要化验k+1次。假如每个人化验呈

阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的。

（1）试讨论什么条件下按第二种方法可减少化验次数，并论证你们的结论；

（2）对给定的p值（足够小），讨论k取何值最适宜。

2问题的分析

这个问题在当今医学中是经常出现的--对于疾病的检测转化成抽血样进行

检测。对于抽取血液这个操作是需要一定成本的，尤其是当待测群体数目很庞大

的时侯，我们知道，一般情况下，一些疾病的发病率都不高，这种情况如果我们

仍然采取普查，也就是对所有人都抽样进行检测，那样肯定会造成很大的浪费，

因为大部分人都是不需要检测的。面对这种问题，有人想出了分组检测的方法。

下面对问题简单的分析一下。不妨假设待测总体人数为N。

在特定的情况下，对于将所有人的血液都进行抽样的方式，一共要抽N次，

那么平均每个人都要抽取一次。现在我们进行分组抽样，利用概率论里的数学期

望知识，如果在某种分组情况下，每个人平均抽取血样的次数小于一，则可以取

代普查的方式。

这篇论文会从这个血样检测的医学问题出发，我们来探讨一下在给定待测群

体个数以及疾病的发生概率的经验估计值情况下，我们要不要进行分组，另外，

分组也有很多种方式，我们在众多方式中如何选取每组人数来使得每个人平均抽

取血样次数期望值最小。

这样得到的方案我们认为是在特定情况下的最优方案。

3基本假设

通过以上的分析，在建立模型之前，我们作出以下假设：

一、待测人数总体N在一定时间内认为是常量

二、对于血液呈现阳性的概率P