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巧解12个经典的行程问题

甲、乙两人分别从相距100米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米每秒，乙的速度是3米每秒。一只狗从A地出发，先以6米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一共跑了多少米？

这可以说是最经典的行程问题了。不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20秒，在这20秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120米。

说到这个经典问题，故事可就多了。下面引用某个经典的数学家八卦帖子：JohnvonNeumann（冯·诺依曼）曾被问起一个中国小学生都很熟的问题：两个人相向而行，中间一只狗跑来跑去，问两个人相遇后狗走了多少路。诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。Neumann当然瞬间给出了答案。提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。Neumann惊讶道：“什么诀窍？我就是把狗每次跑的都算出来，然后计算无穷级数??”

某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。

这个题目也是经典中的经典了。把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。

甲从A地前往B地，乙从B地前往A地，两人同时出发，各自匀速地前进，每个人到达目的地后都立即以原速度返回。两人首次在距离A地700米处相遇，后来又在距离B地400米处相遇。求A、B两地间的距离。

答案：1700米。第一次相遇时，甲、乙共同走完一个AB的距离；第二次相遇时，甲、乙共同走完三个AB的距离。可见，从第一次相遇到第二次相遇的过程花了两个从出发到第一次相遇这么多的时间。既然第一次相遇时甲走了700米，说明后来甲又走了1400米，因此甲一共走了2100米。从中减去400米，正好就是A、B之间的距离了。

甲、乙、丙三人百米赛跑，每次都是甲胜乙10米，乙胜丙10米。则甲胜丙多少米？

答案是19米。“乙胜丙10米”的意思就是，等乙到了终点处时，丙只到了90米处。“甲胜乙10米”的意思就是，甲到了终点处时，乙只到了90米处，而此时丙应该还在81米处。所以甲胜了丙19米。

哥哥弟弟百米赛跑，哥哥赢了弟弟1米。第二次，哥哥在起跑线处退后1米与弟弟比赛，那么谁会获胜？

答案是，哥哥还是获胜了。哥哥跑100米需要的时间等于弟弟跑99米需要的时间。第二次，哥哥在-1米处起跑，弟弟在0米处起跑，两人将在第99米处追平。在剩下的1米里，哥哥超过了弟弟并获得胜利。

如果你上山的速度是2米每秒，下山的速度是6米每秒（假设上山和下山走的是同一条山路）。那么，你全程的平均速度是多少？

这是小学行程问题中最容易错的题之一，是小孩子们死活也搞不明白的问题。答案不是4米每秒，而是3米每秒。不妨假设全程是S米，那么上山的时间就是S/2，下山的时间就是S/6，往返的总路程为2S，往返的总时间为S/2+S/6，因而全程的平均速度为2S/(S/2+S/6)=3。?其实，我们很容易看出，如果前一半路程的速度为a，后一半路程的速度为b，那么总的平均速度应该小于(a+b)/2。这是因为，你会把更多的时间花在速度慢的那一半路程上，从而把平均速度拖慢了。事实上，总的平均速度应该是a和b的调和平均数，即2/(1/a+1/b)，很容易证明调和平均数总是小于等于算术平均数的。

接下来的两个问题与流水行船有关。假设顺水时实际船速等于静水中的船速加上水流速度，逆水时实际船速等于静水中的船速减去水流速度。

船在静水中往返A、B两地和在流水中往返A、B两地相比，哪种情况下更快？

这是一个经典问题了。答案是，船在静水中更快一些。这个问题和前一个问题本质上完全一样。注意船在顺水中的实际速度与在逆水中的实际速度的平均值就是它的静水速度，但由前一个问题的结论，实际的总平均速度会小于这个平均值。因此，船在流水中往返需要的总时间更久。

考虑一种极端情况可以让问题的答案变得异常显然，颇有一种荒谬的喜剧效果。假设船刚开始在上游。如果水速等于船速的话，它将以原速度的两倍飞速到达折返点。