2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）.docx

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

2．（2024?山西模拟）阅读与思考

下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．

我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：

如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？

下面是我的解题步骤：

如图2，第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧；

第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D；

第三步：作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等．

下面是部分证明过程：

证明：如图3，连接BD，CD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，连接BC交AD于点O．

由作图可知AB＝CD，AC＝BD，

∴四边形ABDC是平行四边形．（依据1）

∴BO＝CO．（依据2）

……

于是我得到了这样的结论：只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．

任务：

（1）填空：材料中的“依据1”是指；“依据2”是指．

（2）请将小明的证明过程补充完整．

（3）尺规作图：请在图4中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）

3．（2024?吉安三模）在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．

（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；

（2）在AB上找点F，使∠CFA＝∠DFB；

（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中]．

4．（2024?惠阳区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE．

（1）尺规作图，以BC为边，C为顶点作∠BCF＝∠DAE，CF交线段AB于点F．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．

（2）求证：四边形AFCE为平行四边形

5．（2024?吉安一模）如图是由小正方形组成的9×10网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知⊙O的圆心在格点上，圆上A，B两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图1中，点C在圆上，请在直径AB下方的圆上画出点E，使∠ACE＝45°；并在网格中找点F，使△ACF为等腰直角三角形，且∠CAF＝90°．

（2）在图2中，D为格点，在直径AB下方的圆上画出点G，使得OG∥AD；并在线段AD上画出点H，使得AH＝AB．

6．（2024?克什克腾旗一模）如图，∠ACB＝90°，AC＝AD．

（1）过点D作AB的垂线DE交BC与点E，连接AE．（尺规作图，并保留作图痕迹）

（2）如果BD＝8，BE＝10，求BC的长．

7．（2024?重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：

（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD．

∴①，∠OCF＝∠OAE．

∵点O是AC的中点，

∴②．

∴△CFO≌△AEO（AAS）．

∴③．

又∵OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．

8．（2024?龙亭区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作PO的垂线AB，垂足为D，交⊙O于点B．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接PB，试判断PB与⊙O的位置关系，并给出证明．