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2024年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

第I卷（选择题）

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评卷人

得分

一、单选题

1．若z=1+i，则|z2–2z|=（）

A．0 B．1 C． D．2

2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A． B． C． D．

4．已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A．2 B．3 C．6 D．9

5．某校一个课外学习小组为探讨某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回来方程类型中最相宜作为发芽率y和温度x的回来方程类型的是（）

A． B．

C． D．

6．函数的图像在点处的切线方程为（）

A． B．

C． D．

7．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A． B．

C． D．

8．的绽开式中x3y3的系数为（）

A．5 B．10

C．15 D．20

9．已知，且，则（）

A． B．

C． D．

10．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

11．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）

A． B． C． D．

12．若，则（）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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评卷人

得分

二、填空题

13．若x，y满意约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

14．设为单位向量，且，则______________.

15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

16．如图，在三棱锥P–ABC的平面绽开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

评卷人

得分

三、解答题

17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

18．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球竞赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；竞赛前抽签确定首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，竞赛结束.经抽签，甲、乙首先竞赛，丙轮空.设每场竞赛双方获胜的概率都为，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求须要进行第五场竞赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

20．已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

21．已知函数.

（1）当a=1时，探讨f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

23．已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

由题意首先求得的值，然后计算其模即可.

【详解】

由题意可得：，则.

故.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等学问，属于基础题.

2．B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】

求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查交集的运算，不等式的解法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.

3．C

【解析】

【分析】

设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】

如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算实力，