二面角的定义课件.pptVIP

二面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。αιβ

二面角二面角的平面角一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平βι面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面PγB角的平面角Aα

二面角的求法二、二面角的求法1、直接法：⑴定义法以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角:⑵三垂线定理法:。在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。⑶垂面法过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。:AaAOCBAaBBOOa

面积法MAO三角形ABC在平面N内的射影为BCO三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射BCNcos(∮)=

例题分析例1.在棱长为a的正方体ABCD－ABCD中，1111D1C1求（1）平面CBD与平面1PABCD所成角的大小；（2）二面角A－BD1－1C的大小。A1B1CDOAB

二面角例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分、别在αβ内∠BPM=∠BPN=45o，求此二面角的度数。在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得解：MαCPOAB是二面角α--β的平面角AB∠COD设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45oPCDNβ∴CO=a，DO=a，a，PDa又∵∠MPN=60oC∴CD=PCa∴∠COD=90oa因此，二面角的度数为90oOP

二面角例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。解：过PA、PB的平面PAB与P棱ι交于O点Bβ∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PABαAιO∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o∴这二面角的度数为120o

二面角例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。解：取AB的中点为E，连PE，OEP∵O为AC中点，∠ABC=90o∴OE∥BC且OEBCOE⊥AB，因此PE⊥ABEBA∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOC在Rt△POE中，OE，POP∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为EO

例5已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。求证：①平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC。②∠BAC=60A证明：①在图乙中∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC，BC又∵AD平面ABD，AD平面ACD，D(甲图）∴平面ABD⊥平面BDC平，面ACD⊥平面BDC。②在图甲中A。∵AB=AC=a，∠BAC=90BD=DC=BC/2=2/2在图乙中∵△ABC是等边三角形DC∴∠BAC=60。（乙图）B

例6、如图，设E为正方体的边CC的中点，求平面1ABE和底面ABCD所成角的余弦值。11111-△ABE在底面ABCD上的射影为△ABC，故这两个平面所成二面角的余弦值为11111111MD1C1A1B1EDCBA

例7：在直三棱柱ABC-ABC中，111BAC=90，AB=BB=1，直线BC与011平面ABC成30A的正弦值0角，求二面角B-BC-1B1C1分析：易知，平面ABC与A1Q平面BCCB垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一11NCB个半平面到另一个半平面的垂线A。

解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCCB，11过A作AN⊥平面BCCB，垂足为N，则11面BCCB，（AN即为我们要找的垂线）在平面11BCB内过N作NQ棱BC，垂足为Q，连QA，则11NQA即为二面角的平面角。∵AB在平面ABC内的射影为AB，CAAB，1∴CABA，AB=BB=1，得AB=。∵直线B111平面ABC成300角，∴BCB=300，BC=2，11Rt△BAC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=11在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN=。即二面角B-BC-A的正弦值为。1

二面角练习1、如图，A