专题03 等式性质与不等式性质（原卷版）.docxVIP

专题03等式性质与不等式性质

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：不等式的性质 4

题型二：比较大小 6

题型三：不等式范围求解 6

知识点总结

知识点总结

比较实数a，b大小的基本事实

(1)作差法

①a－b0?ab；

②a－b＝0?a＝b；

③a－b0?ab.

(2)作商法

①eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0)；

②eq\f(a,b)＝1(a∈R，b≠0)?a＝b(a∈R，b≠0)；

③eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0)．

等式的基本性质

(1)对称性：a＝b?b＝a；

(2)传递性：a＝b，b＝c?a＝c；

(3)可加性：a＝b?a±c＝b±c；

(4)可乘性：a＝b?ac＝bc；

(5)可除性：a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).

不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

ab?ba；ab?ba

可逆

传递性

ab，bc?ac；ab，bc?ac

同向

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

可乘性

ab，c0?acbc；ab，c0?acbc

c的符号

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

同向同正

可乘性

ab0，cd0?acbd

同向，同正

可乘方性

ab0，n∈N，n≥2?anbn

同正

可开方性

ab0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

同正

【常用结论与知识拓展】

1.不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；

③ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d)；

④0axb或axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).

(2)有关分数的性质

若ab0，m0，则

①真分数性质：eq\f(b－m,a－m)eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)(b－m0)，即真分数越加越大，越减越小；

②假分数性质：eq\f(a＋m,b＋m)eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)，即假分数越加越小，越减越大．

2.若axb，cyd，则a－dx－yb－c.

3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

例题精讲

例题精讲

不等式的性质

【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;

(2)利用特殊值法排除错误选项;

(3)作差(商)法;

(4)构造函数,利用函数的单调性;

(5)利用基本不等式.

（2022?西城区校级三模）已知，，且，则

A． B．

C． D．

（2023?吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是

A． B． C． D．

（2023?阿拉善盟一模）已知，则下列不等式不成立的是

A． B．

C． D．

（2023?广陵区校级模拟）已知，，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

（2023?惠州模拟）已知实数，则下列结论一定正确的是

A． B．

C． D．

（2023?大同二模）已知，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

（2023?临高县模拟）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：．其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

（2023?武汉模拟）下列不等式正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，，，且，则

（2023?盱眙县校级四模）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有

A．① B．② C．③ D．④

（2021秋?莒南县校级月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有

A． B．

C． D．

比较大小

【要点讲解】（1）做差法（2）做商法

已知，，，则，的大小关系为

A． B． C． D．

已知，，其中，则，的大小关系为

A． B． C． D．大小不确定

（2021秋?舒城县）已知，比较下列各题中两个代数式值的大小：

（1）与；

（2）与．

（2021秋?江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：

（1）与，其中；

（2）与，其中．

不等式范围求解

【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围;

2.求形如ab的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出1b的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出

3.已知M1f1(a,b)N1,M2f2(a,b)N2,求g(a,b)的取值范围步骤:

(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);

(2)根据恒等变形求得待定系数p