专题03 等式性质与不等式性质（解析版）.docxVIP

专题03等式性质与不等式性质

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：不等式的性质 4

题型二：比较大小 8

题型三：不等式范围求解 10

知识点总结

知识点总结

比较实数a，b大小的基本事实

(1)作差法

①a－b0?ab；

②a－b＝0?a＝b；

③a－b0?ab.

(2)作商法

①eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0)；

②eq\f(a,b)＝1(a∈R，b≠0)?a＝b(a∈R，b≠0)；

③eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0)．

等式的基本性质

(1)对称性：a＝b?b＝a；

(2)传递性：a＝b，b＝c?a＝c；

(3)可加性：a＝b?a±c＝b±c；

(4)可乘性：a＝b?ac＝bc；

(5)可除性：a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).

不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

ab?ba；ab?ba

可逆

传递性

ab，bc?ac；ab，bc?ac

同向

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

可乘性

ab，c0?acbc；ab，c0?acbc

c的符号

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

同向同正

可乘性

ab0，cd0?acbd

同向，同正

可乘方性

ab0，n∈N，n≥2?anbn

同正

可开方性

ab0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

同正

【常用结论与知识拓展】

1.不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；

③ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d)；

④0axb或axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).

(2)有关分数的性质

若ab0，m0，则

①真分数性质：eq\f(b－m,a－m)eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)(b－m0)，即真分数越加越大，越减越小；

②假分数性质：eq\f(a＋m,b＋m)eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)，即假分数越加越小，越减越大．

2.若axb，cyd，则a－dx－yb－c.

3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

例题精讲

例题精讲

不等式的性质

【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;

(2)利用特殊值法排除错误选项;

(3)作差(商)法;

(4)构造函数,利用函数的单调性;

(5)利用基本不等式.

（2022?西城区校级三模）已知，，且，则

A． B．

C． D．

【解答】解：，，且，则，与的大小关系不确定，，即，与0的大小关系不确定．

故选：．

（2023?吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是

A． B． C． D．

【解答】解：选项，，故，，所以，两边同乘以得，，正确；

选项，因为，所以，且，

由基本不等式得，故正确；

选项，因为，所以，

故，

所以，正确；

选项，不妨取，，满足，此时，故错误．

故选：．

（2023?阿拉善盟一模）已知，则下列不等式不成立的是

A． B．

C． D．

【解答】解：函数，在上单调递增，

当时，．

故选：．

（2023?广陵区校级模拟）已知，，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

【解答】解：，，

由不等式的基本性质，知和都正确；

取，，则，，故错误；

幂函数，在上是增函数，

当时，，故正确．

故选：．

（2023?惠州模拟）已知实数，则下列结论一定正确的是

A． B．

C． D．

【解答】解：选项中，因为，所以，故选项正确；

选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故选项错误：

选项中，因为，则，故选项错误；

选项中，若，，满足，但，故选项错误．

故选：．

（2023?大同二模）已知，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意可知，不妨取，，

则，，此时不满足，即错误；

易得，此时，所以错误；

对于，无意义，所以错误，

由指数函数单调性可得，当时，，即正确．

故选：．

（2023?临高县模拟）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：．其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：对于命题①：，，，

故，错误；

对于命题②：在递减，故正确；

对于命题③：，，，，

故正确；

对于命题④：，，，

，，故正确；

其中真命题的个数是3个，

故选：．

（2023?武汉模拟）下列不等式正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，，，且，则

【解答】解：对于，若，当时，与的大小关系无法确定，故错误，

对于，取，，，则满足，但不