专题04 基本不等式（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）（原卷版）.docxVIP

专题04基本不等式

目录

01

思维导图

02

知识清单

03

核心素养分析

04

方法归纳

一、基本不等式

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2.基本不等式的证明

（1）.代数证法

（2）.几何证法

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD~△DCB,因而CD=√ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

例已知a,b,c都是正数，证明：

证明：

二、几个重要不等式

1．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

三、最值定理

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

一、利用基本不等式求最值方法

方法1配凑法

例1(1)(2022·长沙模拟)设0xeq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()

A.eq\f(9,4) B．4

C.eq\f(9,2) D．9

答案C

解析y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).

当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时取等号，

∴当x＝eq\f(3,4)时，ymax＝eq\f(9,2).

(2)若xeq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()

A．最大值0 B．最小值9

C．最大值－3 D．最小值－3

答案C

解析∵xeq\f(2,3)，∴3x－20，

f(x)＝3x－2＋eq\f(9,3x－2)＋3

＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?2－3x?＋\f(9,2－3x)))＋3

≤－2eq\r(?2－3x?·\f(9,2－3x))＋3＝－3.

当且仅当2－3x＝eq\f(9,2－3x)，即x＝－eq\f(1,3)时取“＝”．

(3)(2022·天津模拟)函数y＝eq\f(?x＋5??x＋2?,x＋1)(x－1)的最小值为________．

答案9

解析因为x－1，则x＋10，

所以y＝eq\f([?x＋1?＋4][?x＋1?＋1],x＋1)

＝eq\f(?x＋1?2＋5?x＋1?＋4,x＋1)

＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5

≥2eq\r(?x＋1?·\f(4,x＋1))＋5＝9，

当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时等号成立，

所以函数的最小值为9.

方法2常数代换法

例2(2022·重庆模拟)已知a0，b0，且a＋b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()

A．1 B．2

C.eq\f(9,4) D.eq\f(9,2)

答案C

解析因为a0，b0，且a＋b＝2，

所以eq\f(a＋b,2)＝1，

所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,2b)))

＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)＋\f(5,2)))

≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(5,2)))

＝eq\f(9,4)，

当且仅当