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专题07函数与方程

一、单选题

1．（2024届广东省茂名市化州市林尘中学高三上学期第一次统测）函数的一个零点所在的区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，又，，，根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，故选B.

2．（2023届新疆乌鲁木齐市高三三模）定义符号函数，则方程的解是（????）

A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或

【答案】D

【解析】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，

当时，方程为：，解得，于是无解，

当时，方程为：，解得或，因此，

所以方程的解是或或.故选D

3．（2024届河南省郑州高三上学期8月月考）已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，

则可转化为与只有1个交点，

当时，，故恒成立，

故在上单调递增，

当时，，故恒成立，

故在上单调递增，又，

画出的图象如下：

??

要想与只有1个交点，只需，故实数a的取值范围是.故选A

4．（2024届北京市第三十五中学高三上学期开学考）若关于x的方程有实数根，且，给出下列4个结论：

①当时，；②；③当时，；④当时，.其中正确的结论个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】对于①，时，方程为，解得，，∴①正确；

对于②，方程整理可得，则，可得，∴②正确；

作出函数的图象，

??

当时，，∴③不正确，④正确．

故正确的有①②④，共3个.故选C

5．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】若函数存在1个零点位于内，

单调递增,又因为零点存在定理，

.故选A.

6．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）已知函数在区间上有三个不同的零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，得，

所以，

所以，

所以，则或．

由题意得方程在区间内有两个不同的实数根，

设两根分别为，则，，

所以，，

所以．

因为，所以，所以．

又，所以，即的取值范围是．故选B

7．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考）已知函数，若方程有三个不同的根，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】B

【解析】由题意，因为，所以为奇函数，

由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，

所以的图象关于点对称.而所表示的直线也关于点对称，

所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.

故选D.

8．（2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，可得函数的图象关于对称，且，

又因为函数为定义在上的偶函数，可得，

则，即，所以是以为周期的周期函数，

因为当时，，作出函数的图象，如图所示，

由关于x的方程恰有5个实数解，

即函数与直线的图象有5个交点，

结合图象，及其图象的对称性，则满足或，

解得或，

即实数的取值范围是.故选A.

??

9．（2024届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期阶段验收）已知函数，且满足对任意的，总有，的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为当时，，故在上的图象具有局部周期性，

则在上的图象如图所示：

设，若要使函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对，

则函数与的图象恰有3个交点，

在同一直角坐标系中画出与的图象，如图，

由图象可得，若使两函数的图象恰有3个交点，则且满足，，

即，，所以，解得，故选C

10．（2023届山西省吕梁市高三二模）已知，分别是方程，的根，则的值为（????）

A． B． C．10 D．5

【答案】D

【解析】在同一平面直角坐标系绘制函数，，的图象，

由题意可知，的值分别为图中点，的横坐标，

则，的值分别为图中点，的纵坐标，

因为函数和互为反函数，

互为反函数的图象关于直线对称，设直线与的交点为，

易知，结合对称性可知．故选D

??

11．（2024届天津市第二南开学校高三开学考试）函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，

当时，由，得，

由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取到最大值，

当时，，

作出函数的图象如下图所示，

????

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点