第6节 余弦定理、正弦定理--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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第六节余弦定理、正弦定理

课标解读

考向预测

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.

2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

从近几年的高考来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，预计2025年高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，题型灵活呈现，中档难度；也可能融合在其他考点里面，不单独呈现.

必备知识——强基础

1．余弦定理、正弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

余弦定理

正弦定理

公式

a2＝eq\x(\s\up1(01))b2＋c2－2bccosA；

b2＝eq\x(\s\up1(02))c2＋a2－2cacosB；

c2＝eq\x(\s\up1(03))a2＋b2－2abcosC

eq\f(a,sinA)＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(b,sinB)＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(c,sinC)＝2R

常见变形

cosA＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

(1)a＝2RsinA，b＝eq\x(\s\up1(09))2RsinB，c＝eq\x(\s\up1(10))2RsinC；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\x(\s\up1(11))eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝eq\x(\s\up1(12))sinA∶sinB∶sinC；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

a≤b

解的个数

eq\x(\s\up1(13))一解

eq\x(\s\up1(14))两解

eq\x(\s\up1(15))一解

eq\x(\s\up1(16))一解

eq\x(\s\up1(17))无解

3.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示a边上的高)．

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

在△ABC中，常有以下结论：

(1)A＋B＋C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.

(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()

(2)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形．()

(3)在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解．()

(4)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×

2．小题热身

(1)(人教B必修第四册第九章小结复习题A组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，则角A的大小为()

A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)

C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)

答案D

解析因为b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，所以由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，因为0Aπ，所以A＝eq\f(π,6).

(2)(人教A必修第二册复习参考题6T11改编)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq\r(2)，则a的值为()

A．2 B．1

C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)

答案B

解析因为在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(