第7节 余弦定理、正弦定理应用举例--2025年高考数学复习讲义及练习解析.docVIP

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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第七节余弦定理、正弦定理应用举例

课标解读

考向预测

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.

3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养.

预计2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，中档难度.

必备知识——强基础

测量中的几个有关术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线eq\x(\s\up1(01))上方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq\x(\s\up1(02))下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

(1)北偏东α：

(2)南偏西α：

坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ

解三角形应用问题的步骤：

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()

(2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()

(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()

(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()

答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×

2．小题热身

(1)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()

A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)m

C．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m

答案A

解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A.

(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()

A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)m

C．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m

答案A

解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得PB＝eq\f(ABsin30°,sin∠APB)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以该树的高度为30(eq\r(6)＋eq\r(2))sin45°＝30eq\r(3)＋30(m)．故选A.

(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.

答案50eq\r(7)

解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，解得OC＝50eq\r(7).则该扇形的半径为50eq\r(7)m.

考点探究——提素养

考点一测量距离问题

例1(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行了2eq\r(3)km到达