专题11 三角恒等变换及应用（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）.docxVIP

专题11三角恒等变换及应用

目录

01

思维导图

02

知识清单

03

核心素养分析

04

方法归纳

一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)

6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)

二、二倍角公式

1．基本公式

(1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．

2．公式变形

(1)降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；

(2)升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．

(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)

三、辅助角公式、半角公式

(1)辅助角公式

asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx))，

令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，则有asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(cosφsinx＋sinφcosx)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ为辅助角．

(2)半角公式

sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，

coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，

taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，

taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)

拓展：万能公式：

设taneq\f(α,2)＝t，则sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2)．

四、积化和差与和差化积公式

1．积化和差公式

2．和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)

cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换;利用三角恒等变换求值是近年来高考考查的重点，常常与三角函数的其他内容相结合，难度中等选择题、填空题、解答题都有出现.

一、三角函数式的化简

例1(2021·全国甲卷)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，则tanα等于()

A.eq\f(\r(15),15)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(15),3)

答案A

解析方法一因为tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，

且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4