专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）.docxVIP

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：位置关系的判定 4

题型二：共点、共线、共面的证明 7

题型三：异面直线所成角 10

题型四：综合运用 17

知识点总结

知识点总结

平面的基本事实及推论

(1)基本事实

基本

事实

文字语言

图形语言

符号语言

作用

基本

事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α

确定平面；判定点线共面

基本

事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

确定直线在平面内；判定点在平面内

基本

事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

判定两平面相交；判定点在直线上

(2)基本事实1与2的推论

推论

文字语言

图形语言

符号语言

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，l?α

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

a∩b＝P?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

a∥b?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)空间中直线与直线的位置关系

位置关系

共面情况

公共点个数

共面

直线

相交直线

在同一个平面内

1

平行直线

在同一个平面内

0

异面直线

不同在任何一个平面内

0

(2)空间中直线与平面的位置关系

位置

关系

直线在

平面内

直线与

平面相交

直线与

平面平行

公共点个数

无数个

1

0

图形表示

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．

(3)空间中平面与平面的位置关系

位置关系

两个平面相交

两个平面平行

公共点个数

无数个

(有一条公共直线)

0

符号表示

α∩β＝a

α∥β

图形表示

常用唯一性结论

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

异面直线

(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

(2)判定方法：

①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．

②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是(0°，90°]．

例题精讲

例题精讲

位置关系的判定

【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.

设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，

可得若、、、中有三点在同一直线上，则、、、在同一个平面上，则必要性成立，

由推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，则若、、、在同一个平面上，

不能得到、、、中有三点在同一直线上，则充分性不成立，

故“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”必要不充分条件．

故选：．

下列说法中正确的是

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个互异平面和有三个不共线的交点

【解答】解：中，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以不正确；

中，四边形有可能是空间几何体，即三棱锥，所以不正确；

中，因为梯形的两底平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以正确；

中，两个互异平面和有交点，则交点在同一条直线上，所以不正确．

故选：．

空间不重合的三个平面可以把空间分成

A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分

C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分

【解答】解：空间不重合的三个平面，

若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分．

所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分．

故选：．

在正