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专题9.1计数原理、排列组合
目录
TOC\o1-3\h\z\u题型一:两个原理的综合应用 3
题型二:涂色问题 7
题型三:排列、组合的基本问题 11
题型四:分堆与分组分配问题 14
题型五:“球”与“盒”模型 16
知识点总结
知识点总结
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理
①定义:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
②拓展:完成一件事,如果有n类不同方案,且:第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法,…,第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理
①定义:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
②拓展:完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定,通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类,即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准.
3.分类与分步都是数学思维中的“分解”策略,前者是“横向分解”,分解为若干种满足要求的类型;后者是“纵向分解”,将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤.
排列与组合
(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Aeq\o\al(m,n)表示
全排列的概念
n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积,用n!表示.Aeq\o\al(n,n)=n!,0!=1
排列数公式(n,m∈N*,m≤n).
连乘式Aeq\o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
阶乘式Aeq\o\al(m,n)=eq\f(n!,?n-m?!)
(3)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(4)组合数
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Ceq\o\al(m,n)表示
组合数
公式
乘积式
Ceq\o\al(m,n)=eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))=eq\f(n?n-1??n-2?…?n-m+1?,m!)
阶乘式
Ceq\o\al(m,n)=eq\f(n!,m!?n-m?!)
两个
性质
性质1
Ceq\o\al(m,n)=Ceq\o\al(n-m,n)
性质2
Ceq\o\al(m,n+1)=Ceq\o\al(m,n)+Ceq\o\al(m-1,n)
常用公式
(1)Aeq\o\al(m,n)=(n-m+1)Aeq\o\al(m-1,n)=nAeq\o\al(m-1,n-1)=mAeq\o\al(m-1,n-1)+Aeq\o\al(m,n-1);
(n+1)!-n!=n·n!;
(2)kCeq\o\al(k,n)=nCeq\o\al(k-1,n-1);Ceq\o\al(m,n)=Ceq\o\al(m-1,n-1)+Ceq\o\al(m-1,n-2)+…+Ceq\o\al(m-1,m-1).
例题精讲
例题精讲
两个原理的综合应用
【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前仔细分析三点:(1)要完成的“一件事”究竟是什么;(2)怎样算是完成;(3)完成的过程中是分类还是分步,或是在完成的过程中要先分类再分步,亦或先分步再分类等;总之,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤严谨完整”.
某企业面试环节准备编号为1,2,3,4的四道试题,编号为1,2,3,4的四名面试者分别回答其中的一道试题(每名面试者回答的试题互不相同),则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有
A.9种 B.10种 C.11种 D.12种
【解答】解:用表示编号的面试者回答的试题为,其中,,2,3,,
所以的全部可能情况有:,,,,,,,,
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所以共有9种.
故选:.
电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种
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