圆锥曲线的方程（一）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）.docxVIP

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一

知识点一求椭圆中的最值问题

典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点.

（1）若，且求椭圆的离心率.

（2）若，求的最大值和最小值.

随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．

（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．

典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值

随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．

（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．

典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

随堂练习：已知椭圆经过点和点．

（1求椭圆的标准方程和离心率；

（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．

知识点二求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数

典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．

（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．

（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．

典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，

且，．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与

点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.

（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；

（2）曲线上一点P，点A?B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．

（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值．

随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案

典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.

解:（1），因为。所以，所以，

所以

（2）由于，得，则.

①若垂直于轴，则，所以，

所以

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由得

，方程有两个不等的实数根.

设，.,

=

，所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值

随堂练习：答案：（1）；（2）2.

解:（1）依题意可知，解得故椭圆的方程为．

（2）延长交E于点，由（1）可知，

设，设的方程为，由得，故．

设与的距离为d，则四边形的面积为S，

，

又因为，

当且仅当，即时，等号成立，故四边形面积的最大值为2．

典例2、答案：（1）（2）

解:（1）∵∴，a=4，椭圆的标准方程为；

（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，

设P，Q，则

∴三角形APQ面积为：，

令

∵函数y=x+在上单调递增

∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.

随堂练习：答案：（1）（2）

解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以

所以，，所以椭圆方程为：；

（2）因为，

因为，

所以，此时P点位于短轴端点处

典例3、答案：（1）；（2）见解析

解:（1）对于，当时，，即，当，，即，

椭圆的方程为，

（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，

联立直线与椭圆得，得，

，解得，，

，直线，

令，得，

直线过定点

随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为（2）证明见解析

解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，

所以，椭圆的标准方程为，离心率为.

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，可得，

由韦达