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《几何学的本质》

几何学是人们在长期的生活实践中逐渐发展起来的理

论思维成果之一。在它的启蒙阶段，现实中的物体形状和理

论上的几何形状，一般是被混为一体或不加区分的，直到柏

拉图时代，人们才开始注意到几何形状对于理论和现实的不

同。人们所画在物体表面上的线都是有一定宽度的，它并非

是几何学理论所意味的那种没有宽度的线；画在沙面上的三

角形诸角，实际上是一些小块的面积，因此也不是理想的尖

角。几何学概念的意义与体现它的现实事物的不相吻合，使

柏拉图相信在超越现实事物的表面，一定有着“理念”事物

存在，它们以十全十美的完善方式，显示出理想的几何属性。

因而可靠的几何学知识，不是由现实事物来直接提供的，它

需要人们对“理念”事物的一种“洞见”行为才能获得。

柏拉图的观点，代表了对几何学本质的早期见解，它使

人们清楚地认识到，理想化的几何形状并不存在于人们生活

的现实空间中。由于人们普遍认为欧几里德几何学中的每一

条公理或公设，都不能从更为基本的前提中推导出来，而且

每一条公理或公设对于处理现实事物都是有效的，所以，康

德紧紧抓住几何学公理的不证自明性，认为几何学知识一定

是通过逻辑以外的其它方式才能获得，并且是先天的和综合

的。人们对现实事物所具有的几何特征的认识，实际上是把

现实事物置于几何学先天公理的构架上使之呈现的结果。同

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柏拉图一样，康德也把确定性的几何形状，同现实空间中的

事物形状区分开来，但是他没有用理想的事物来解释几何学

的本质，而是认为几何学知识是先于人类认识的，它们不能

从人们的认识中得到解释和说明。

随着实验科学的发展，以及面对一系列通过实验所取得

的丰硕成果，人们对科学理论的鉴别，逐渐倾向于依赖客观

实验的检验。人们开始放弃柏拉图和康德的神秘主义几何学

观点，并力图使几何学知识在现实空间中，能够得到客观实

验的证明。高斯曾经测量过以三座山峰的顶端为顶点的三角

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形诸角，以试图验证这个三角形的内角和是否等于180。后

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来爱因斯坦对此解释说，三角形内角和不等于180，只有在

很大的空间范围上才会明显，所以，对于我们附近的现实空

间，欧几里得几何学是近似有用的。但是，高斯未能说明他

所测量的三角形，为什么等同于理论意义上的几何三角形，

爱因斯坦也没有区分三角形对于理论和现实的不同，他们回

避了几何学中绝对理想化的几何形状，不存在于现实空间这

一根本性的前提。理想化的直线和平面，在现实中没有与它

们相对应的客观对象，研究直线平面几何形关系，应当只能

针对理论意义上的直线和平面所构成的几何形及其几何关

系。只有将几何学的研究对象，看作与物理学的研究对象一

样，是外在于自然空间的情况下，人们才会考虑理论中的几

何定律，是否符合客观实际的问题。非欧几何学者就是在这

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样的情况下，来提出他们的非欧几何学观点的。

非欧几何学者认为，人们在实际应用几何学知识时，总

是依据直观经验来选择几何定律的。由于空间弯曲这一客观

原因，人们观察下的直线和平面，在事实上可能是曲线和曲

面，因此，对于这样的几何学应用对象，人们只会依据直观

经验来选择直线平面几何形定律，而不会把它们当做曲线曲

面几何形问题来进行处理的。所以在理论上，人们仍然应当

将这种事实上的曲线和曲面，称为直线和平面。同传统的欧

氏几何学相比，非欧直线和平面，是观察下的直线和平面、

事实上的曲线和曲面；欧氏直线和平面，是观察下的直线和

平面、同时也是事实上的直线和平面。

观察下的直线和平面、在事实上同时也是直线和平面，

只有在理想化空间中才能实现，对于现实空间这种情况是不

可能存在的。所以，非欧几何学者坚持认为欧几里德几何学，

只能正确地适用于理想化空间中的事物形状，如果对欧几里

德几何学在现实空间中应用时存在的偏差，不能采用有效的

“修正”方法，那么，