思维拓展02 抽象函数和复合函数的应用（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

思维拓展02抽象函数与复合函数的应用（精讲+精练）

①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）

②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数

③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数

④复合函数的应用

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、抽象函数的性质

1.周期性：；；

；（为常数）；

2.对称性：

对称轴：或者关于对称；

对称中心：或者关于对称；

3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期

4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题

①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有

；

在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有

；

②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；

③关于对称，且单调递增若解不等式，则有

；

关于对称，且单调递减若解不等式，则有

；

④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

5.常见的特殊函数性质一览

①是奇函数

②（为常数）是奇函数

③或者或者或者是奇函数

④关于对称

⑤复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇

二、抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数：，则，

【一次函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则为奇函数；

模型3：若则；

模型4：若则；

【指数函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则；

模型3：若，则；

模型4：若，则；

【对数函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

模型3：若，则

模型4：若，则

模型5：若，则

【幂函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

代入则可化简为幂函数；

【余弦函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

【正切函数模型】

模型：若，则

模型3：若，则

三、复合函数

1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数分解成

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。

在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”

增

增

增

增

减

减

减

增

减

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型训练-刷真题】

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（????）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】[方法一]：赋值加性质

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

[方法二]：【最优解】构造特殊函数

由，联想到余弦函数和差化积公式

，可设，则由方法一中知，解得，取，

所以，则

，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，

由于22除以6余4，

所以．故选：A．

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.

2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.

【详解】因为的图像关于直线对称，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，

.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，

所以

因为，所以.

所以.

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.

二、多选题

3．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（????）．

A． B．

C．是偶函数 D．为的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.

【详解】方法一：

因为，

对于A，令，，故正确.

对于B，令，，则，故B正确.

对