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思想02运用数形结合的思想方法解题
【目录】
TOC\o1-3\h\z\u 1
2
2
9
考点一:研究函数的零点、方程的根、图象的交点 9
考点二:解不等式、求参数范围、最值问题 14
考点三:解决以几何图形为背景的代数问题 19
考点四:解决数学文化、情境问题 23
高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等.
1、以形助数(数题形解):借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系,把抽象问题具体化,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的解决数学问题的数学思想.
2、以数辅形(形题数解):借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性,把直观图形数量化,即以数作为手段,形作为目的解决问题的数学思想.
1.(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,,则的面积为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】法一:
连结交于,连结,则为的中点,如图,
因为底面为正方形,,所以,则,
又,,所以,则,
又,,所以,则,
在中,,
则由余弦定理可得,
故,则,
故在中,,
所以,
又,所以,
所以的面积为.
法二:
连结交于,连结,则为的中点,如图,
因为底面为正方形,,所以,
在中,,
则由余弦定理可得,故,
所以,则,
不妨记,
因为,所以,
即,
则,整理得①,
又在中,,即,则②,
两式相加得,故,
故在中,,
所以,
又,所以,
所以的面积为.
故选:C.
2.(2023·全国·统考高考真题)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为,所以,
而显然过与两点,
作出与的部分大致图像如下,
考虑,即处与的大小关系,
当时,,;
当时,,;
当时,,;
所以由图可知,与的交点个数为.
故选:C.
3.(2023·全国·统考高考真题)已知向量满足,且,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
4.(2023·全国·统考高考真题)已知的半径为1,直线PA与相切于点A,直线PB与交于B,C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示,,则由题意可知:,
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时,设,
则:
,则
当时,有最大值.
当点位于直线同侧时,设,
则:
,
,则
当时,有最大值.
综上可得,的最大值为.
故选:A.
5.(2023·天津·统考高考真题)双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为.已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图,
因为,不妨设渐近线方程为,即,
所以,
所以.
设,则,所以,所以.
因为,所以,所以,所以,
所以,
因为,
所以,
所以,解得,
所以双曲线的方程为
故选:D
6.(2023·天津·统考高考真题)在三棱锥中,线段上的点满足,线段上的点满足,则三棱锥和三棱锥的体积之比为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,分别过作,垂足分别为.过作平面,垂足为,连接,过作,垂足为.
因为平面,平面,所以平面平面.
又因为平面平面,,平面,所以平面,且.
在中,因为,所以,所以,
在中,因为,所以,
所以.
故选:B
考点一:研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【例1】(2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习)已知函数在上有两个极值点,则实数的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上有两个极值点,
所以在上有两个变号零点,
因为,令,即,可得.
令,则,
令,得,令,得,
所以,函数在上递增,在上递减,
因为,,,如下图所示:
当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
设两个交点的横坐标分别为、,且,
由图可知,当或时,,此时,,
当时,,此时,,
所以,函数在上递增,在上递减,在上递增,
此时,函数有两个
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