思想02 运用数形结合的思想方法解题（4大核心考点）（讲义）（解析版）.docxVIP

思想02运用数形结合的思想方法解题

【目录】

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考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点 9

考点二：解不等式、求参数范围、最值问题 14

考点三：解决以几何图形为背景的代数问题 19

考点四：解决数学文化、情境问题 23

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．

1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．

2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．

1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】法一：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，则，

又，，所以，则，

又，，所以，则，

在中，，

则由余弦定理可得，

故，则，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

法二：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，

在中，，

则由余弦定理可得，故，

所以，则，

不妨记，

因为，所以，

即，

则，整理得①，

又在中，，即，则②，

两式相加得，故，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

故选：C.

2．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，

而显然过与两点，

作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

所以由图可知，与的交点个数为.

故选：C.

3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为,所以,

即,即,所以.

如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,

AB边上的高,

所以,

,

.

故选:D.

4．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，

则：

，

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

故选：A.

5．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，

所以，

所以.

设,则，所以，所以.

因为,所以，所以，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，解得，

所以双曲线的方程为

故选：D

6．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.

又因为平面平面，，平面，所以平面，且.

在中，因为，所以，所以，

在中，因为，所以，

所以.

故选：B

考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点

【例1】（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为函数在上有两个极值点，

所以在上有两个变号零点，

因为，令，即，可得．

令，则，

令，得，令，得，

所以，函数在上递增，在上递减，

因为，，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

设两个交点的横坐标分别为、，且，

由图可知，当或时，，此时，，

当时，，此时，，

所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，

此时，函数有两个