思想02 运用数形结合的思想方法解题(4大核心考点)(讲义)(解析版).docxVIP

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思想02运用数形结合的思想方法解题

【目录】

TOC\o1-3\h\z\u 1

2

2

9

考点一:研究函数的零点、方程的根、图象的交点 9

考点二:解不等式、求参数范围、最值问题 14

考点三:解决以几何图形为背景的代数问题 19

考点四:解决数学文化、情境问题 23

高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等.

1、以形助数(数题形解):借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系,把抽象问题具体化,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的解决数学问题的数学思想.

2、以数辅形(形题数解):借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性,把直观图形数量化,即以数作为手段,形作为目的解决问题的数学思想.

1.(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,,则的面积为(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】法一:

连结交于,连结,则为的中点,如图,

因为底面为正方形,,所以,则,

又,,所以,则,

又,,所以,则,

在中,,

则由余弦定理可得,

故,则,

故在中,,

所以,

又,所以,

所以的面积为.

法二:

连结交于,连结,则为的中点,如图,

因为底面为正方形,,所以,

在中,,

则由余弦定理可得,故,

所以,则,

不妨记,

因为,所以,

即,

则,整理得①,

又在中,,即,则②,

两式相加得,故,

故在中,,

所以,

又,所以,

所以的面积为.

故选:C.

2.(2023·全国·统考高考真题)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为(????)

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】因为向左平移个单位所得函数为,所以,

而显然过与两点,

作出与的部分大致图像如下,

考虑,即处与的大小关系,

当时,,;

当时,,;

当时,,;

所以由图可知,与的交点个数为.

故选:C.

3.(2023·全国·统考高考真题)已知向量满足,且,则(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为,所以,

即,即,所以.

如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,

AB边上的高,

所以,

,

.

故选:D.

4.(2023·全国·统考高考真题)已知的半径为1,直线PA与相切于点A,直线PB与交于B,C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为(????)

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】如图所示,,则由题意可知:,

由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时,设,

则:

,则

当时,有最大值.

当点位于直线同侧时,设,

则:

,则

当时,有最大值.

综上可得,的最大值为.

故选:A.

5.(2023·天津·统考高考真题)双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为.已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为(????)

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】如图,

因为,不妨设渐近线方程为,即,

所以,

所以.

设,则,所以,所以.

因为,所以,所以,所以,

所以,

因为,

所以,

所以,解得,

所以双曲线的方程为

故选:D

6.(2023·天津·统考高考真题)在三棱锥中,线段上的点满足,线段上的点满足,则三棱锥和三棱锥的体积之比为(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如图,分别过作,垂足分别为.过作平面,垂足为,连接,过作,垂足为.

因为平面,平面,所以平面平面.

又因为平面平面,,平面,所以平面,且.

在中,因为,所以,所以,

在中,因为,所以,

所以.

故选:B

考点一:研究函数的零点、方程的根、图象的交点

【例1】(2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习)已知函数在上有两个极值点,则实数的取值范围为(????)

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】因为函数在上有两个极值点,

所以在上有两个变号零点,

因为,令,即,可得.

令,则,

令,得,令,得,

所以,函数在上递增,在上递减,

因为,,,如下图所示:

当时,直线与函数在上的图象有两个交点,

设两个交点的横坐标分别为、,且,

由图可知,当或时,,此时,,

当时,,此时,,

所以,函数在上递增,在上递减,在上递增,

此时,函数有两个

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