押上海高考18题（函数、数列、不等式、解三角形）解析版.docxVIP

押上海高考18题

函数、数列、不等式、解三角形

考点

4年考题

考情分析

函数

2023年

函数奇偶性的性质与判断

数列

2022年、2022年

数列的极限、等差数列与等比数列的综合

不等式

2022年

不等式恒成立的问题

解三角形

2021年、2023年

正弦定理、解三角形

一．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）

1．（2023?上海）已知，，函数．

（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；

（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．

【分析】（1）时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．

（2）根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．

【解答】解：（1）若，则，

要使函数有意义，则，即的定义域为，

是奇函数，是偶函数，

函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．

（2）若函数过点，则（1），得，得，

此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，

即，得，当时，有两个不同的交点，

设，

则，得，得，即，

若即是方程的根，

则，即，得或，

则实数的取值范围是且且，

即，，．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．

二．数列的极限（共1小题）

2．（2022?上海）已知在数列中，，其前项和为．

（1）若是等比数列，，求；

（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．

【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前项和，求极限得答案；

（2）求出等差数列的前项和，代入，对分类分析得答案．

【解答】解：（1）在等比数列中，，，则，

公比，则，

；

（2）若是等差数列，

则，

即，当时，；

当时，恒成立，，，．

综上所述，，．

【点评】本题考查等差数列与等比数列前项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．

三．等差数列与等比数列的综合（共1小题）

3．（2020?上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．

（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；

（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．

【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的求和公式，解方程可得，进而得到所求通项公式；

（2）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，再由等比数列的求和公式，解不等式可得的最小值．

【解答】解：（1）数列为公差为的等差数列，，，

可得，解得，

则；

（2）数列为公比为的等比数列，，，

可得，即，

则，，

，即为，

即，可得，即的最小值为7．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

四．不等式恒成立的问题（共1小题）

4．（2022?上海）．

（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．

（2）若且，求解不等式．

【分析】（1）写出函数图像下移个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出和的值．

（2）不等式化为，写出等价不等式组，求出解集即可．

【解答】解：（1）因为函数，

将函数图像向下移后，得的图像，

由函数图像经过点和，

所以，

解得，．

（2）且时，不等式可化为，

等价于，

解得，

当时，，，解不等式得，

当时，，，解不等式得；

综上知，时，不等式的解集是，，

时，不等式的解集是，．

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．

五．正弦定理（共2小题）

5．（2021?上海）在中，已知，．

（1）若，求．

（2）若，求．

【分析】（1）由余弦定理求得，从而求得面积；

（2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长．

【解答】解：（1）由余弦定理得，

解得，

；

（2），由正弦定理得，又，

，，，，为锐角，

．

由余弦定理得：，又，，

，得：，解得：．

当时，时；

当时，时．

【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．

6．（2021?上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．

（1）若，求、；

（2）若，求．

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值．

【解答】解：（1）因为，可得，

又，可得，

由于，可得．

（2）因为，

可得，

又，

可解得，，或，，

因为，可得，，可得为钝角，

若，，可得，可得，

可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，

所以，由正弦定理，可得．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了