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押天津卷18题

椭圆大题

考点

2年考题

考情分析

解析几何之椭圆大题

2023年天津卷第18题

2022年天津卷第19题

近两年高考对于椭圆的考察整体难度中等，利用题干给的信息进行分析，得到需要的方程求解，分析难度整体不大，计算量较大。圆锥曲线椭圆大题的难度多来自联立方程之后的计算，往往需要考生有比较扎实的计算功底。

题型一椭圆

18．（15分）（2023?天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．

（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；

（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．

【分析】（Ⅰ）由题意可得，求解与的值，再由隐含条件求解，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，取，得，分别求出△的面积与△面积，再由已知列式求解，则直线方程可求．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，

．

则椭圆方程为，椭圆的离心率为；

（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，

当时，直线方程为，取，得．

联立，得．

△，

，得，则．

．

．

，即，得；

同理求得当时，．

直线的方程为．

19．（15分）（2022?天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值；

（2）先由（1）将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由△及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．

【解答】解：（1），，

，

，，

；

（2）由（1）可知椭圆为，

即，

设直线，联立，消去可得：

，又直线与椭圆只有一个公共点，

△，，

又，，

又，，

解得，，

又的面积为，

，，

又，，，，

椭圆的标准方程为．

1．弦长公式

设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])

或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[?y1＋y2?2－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.

2.常用结论

已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．

(1)通径的长度为eq\f(2b2,a).

(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)

(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.

(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).

(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).

(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.

3.做题技巧

1若直线经过x轴上一点时可以考虑解设直线方程为。

2如果直线不明确经过椭圆内一点时，需要考虑计算△。

3直线与椭圆相切时△=0,此外切点的横坐标

1．设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点．

【答案】（1）；

（2）证明过程见详解，定点，．

【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标，由椭圆的离心率的值和它的一个顶点，可得，的值，即求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得的坐标，同理可得的坐标，进而求出直线的方程，可证得直线恒过定点的坐标．

【解答】（1）解：的焦点的坐标，

由，，，

因为，得，

所以椭圆的方程为：；

（2）证明：由（1）可知，，

由题意可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率，

直线的方程为，

联立，整理可得：，

直线过点，所以，

可得，

代入，得，

即，

直线的方程为，代入椭圆方程，

同理：，

若，即，

直线的斜率，

直线的方程为，

令，解得，

所以直线过定点，

若，此时，直线也过点，

综上所述：直线过定点．

2．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线被截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出的坐标；若不