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押天津卷20题

导数综合

考点

2年考题

考情分析

导数大题

2023年天津卷第20题

2022年天津卷第20题

导数作为高考的压轴大题，难度一直都是较大的，近两年高考在导数的第一问考察求导的基本运算，以及切线方程，第一问的难度较小，大多考生可以解决，后面的问题大多是证明的形式来考察，整体难度较大，涉及参数范围，极值点，最值，零点问题的研究，不等式的证明，函数的构造等。难度很大，考生需要对导数知识掌握透彻的同时了解一些高等数学的内容这样处理导数难题会有些帮助。

题型一导数综合

20．（16分）（2023?天津）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）证明：．

20．（15分）（2022?天津）已知，，函数，．

（1）求函数在，处的切线方程；

（2）若和有公共点．

（ⅰ）当时，求的取值范围；

（ⅱ）求证：．

一、导数的应用

1.在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2.过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

3．函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

4．函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【常用结论】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（3）对于任意的，总存在，使得；

（4）对于任意的，总存在，使得；

（5）若存在，对于任意的，使得；

（6）若存在，对于任意的，使得；

（7）对于任意的，使得；

（8）对于任意的，使得；

（9）若存在，总存在，使得

（10）若存在，总存在，使得．

三、导数中不等式的证明

证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：

(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.

②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.

(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；

(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)ming(x)max恒成立．从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．

【常用结论】

1.破解含双参不等式证明题的3个关键点

（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足