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押新高考17题
导数综合应用（解答题）
考点
4年考题
考情分析
导数综合
2023年新高考Ⅰ卷第19题
2023年新高考Ⅱ卷第22题2022年新高考Ⅰ卷第22题
2022年新高考Ⅱ卷第22题
2021年新高考Ⅰ卷第22题
2021年新高考Ⅱ卷第22题
2020年新高考Ⅰ卷第21题
2020年新高考Ⅱ卷第22题
导数大题难度中等或较难，纵观近几年的新高考试题，主要求极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证明问题为背景展开命题，难度会降低．
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
导函数与原函数的关系
单调递增，单调递减
极值
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
常用函数不等式：
①，其加强不等式；
②，其加强不等式.
③，，
放缩
，
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.
证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
1．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴．
(1)求的值；
(2)求的单调区间．
3．（2024·广东韶关·二模）已知函数在点处的切线平行于轴．
(1)求实数；
(2)求的单调区间和极值．
4．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值．
6．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，．
(1)若函数在上单调递减，求a的取值范围：
(2)若直线与的图象相切，求a的值．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数有两个极值点，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
8．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
9．（2024·辽宁·二模）已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的单调区间和极值.
10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
11．（2024·广东广州·一模）已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当
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