热点2-5 导数的应用-单调性与极值（8题型 满分技巧 限时检测）（解析版）.docxVIP

热点2-5导数的应用-单调性与极值

导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。

【题型1求函数的单调区间或单调性】

满分技巧

1、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2、含参函数单调性讨论依据：

（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

【例1】（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．

【答案】

【解析】函数的定义域为，

，

由得或（因为，故舍去），

所以在区间上单调递增．

【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.

【答案】

【解析】由题意知，.

即，，因为，所以，

所以在中，，

所以在上的单调递减区间为.

【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调增区间．

【答案】（1）；（2）和

【解析】（1），定义域为，

，

，，

故切线方程为，即；

（2）函数定义域为，，

设，，，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递减；

故，恒成立，

即在上恒成立，

函数在和上单调递增.

则函数单调增区间为和.

【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.

【答案】增区间为和，减区间为

【解析】当时，，该函数的定义域为，

，

由可得，

由可得或，

故当时，函数的增区间为和，减区间为.

【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数，.

（1）求曲线的平行于直线的切线方程；

（2）讨论的单调性.

【答案】（1）

（2）在上单调递增，在上单调递减

【解析】（1）由已知得，

直线的斜率为1，令，得，

设，则在上恒成立，所以在上单调递增，

而，所以方程有唯一解，此时，

故曲线的平行于直线的切线只有一条，即在点处的切线；

（2），

而，因此的正负与的正负一致，

由知，当时，，所以单调递增，

所以等价于，

等价于，

由函数和知，当时，，即，

当时，，即，

故在上单调递增，在上单调递减.

【题型2根据函数的单调性求参数】

满分技巧

已知函数的单调性求参数

（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；

（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；

（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点

（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点

【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为函数在上为减函数，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，令，

所以，

所以在上单调递减，所以，

故，所以的取值范围是，故选：D.

【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为函数在上存在单调递增区间，

所以存在，使成立，即存在，使成立，

令，，变形得，因为，所以，

所以当，即时，，所以，故选：D．

【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为函数在递增，

所以在上恒成立，

则，即在上恒成立，

由函数单调递增得，

又，所以，所以，

所以即，解得，

所以的取值范围是，故选：B

【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】，

令，因为在上不单调，

在上有变号零点，即在上有变号零点，

当时，，不成立；

当时，只需，即，解得或，

所以在上不单调的充要条件是或，

所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B