专题02 平行线模型-“铅笔”模型（原卷版）.pdf

专题02平行线模型-“铅笔”模型

专题说明

上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信

同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。

【模型刨析】

模型二：“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.

【典例分析】

【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝

108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，

可得∠PAB+∠PCD＝．

问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP

＝∠β．

（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？

请说明理由．

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），

请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

问题拓展：如图4，MA∥NA，A﹣B﹣A﹣…﹣B﹣A是一条折线段．依

1n112n﹣1n

据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．

【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境

（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样

位置关系？并说明理由．

小明给出下面正确的解法：

直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．

理由如下：

过点E作EF∥AB（如图②所示），

所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），

因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），

所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，

所以∠FED+∠D＝180°，

所以EF∥CD（依据2），

因为EF∥AB，

所以AB∥CD（依据3）．

交流反思

上述解答过程中“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？

“依据1”：，

“依据2”：，

“依据3”：，

类比探究

（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥

CD．

拓展延伸

（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥

CD．

【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任

一点，射线EF经过点B．

（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；

（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE

的度数（用含α式子表示）．

（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠

E和∠Q的数量关系并说明理由．

【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．

（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥

AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝度；

（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MC