人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 4.5 函数与方程（教师版）.docVIP

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第05讲4.5.1函数的零点与方程的解

课程标准

学习目标

①了解函数的零点与方程的解的关系，

并能结合函数的图象判定函数的零点。

②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。

通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题

知识点01：函数零点的概念

1、函数零点的概念

对于一般函数SKIPIF10，我们把使SKIPIF10的实数SKIPIF10叫做函数SKIPIF10的零点.

几何定义:函数SKIPIF10的零点就是方程SKIPIF10的实数解,也就是函数SKIPIF10的图象与SKIPIF10轴的公共点的横坐标.?

这样：方程SKIPIF10有实数解SKIPIF10函数SKIPIF10有零点SKIPIF10函数SKIPIF10的图象与SKIPIF10轴有公共点

2、已学基本初等函数的零点

①一次函数SKIPIF10只有一个零点SKIPIF10；

②反比例函数SKIPIF10没有零点；

③指数函数SKIPIF10（SKIPIF10且SKIPIF10）没有零点；

④对数函数SKIPIF10（SKIPIF10且SKIPIF10）只有一个零点1；

⑤幂函数SKIPIF10当SKIPIF10时，有一个零点0；当SKIPIF10时，无零点。

知识点02：函数零点存在定理及其应用

1、函数零点存在定理

如果函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上的图象是一条连续不断的曲线，且有SKIPIF10，那么函数SKIPIF10在区间SKIPIF10内至少有一个零点，即存在SKIPIF10，使得SKIPIF10，这个SKIPIF10也就是方程SKIPIF10的解.

说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间SKIPIF10上的图象是连续不断的;②SKIPIF10.两个条件缺一不可.

2、函数零点的求法

①代数法：根据零点定义，求出方程SKIPIF10的实数解;

②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解

【即学即练1】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）函数SKIPIF10的零点为．

【答案】2

【详解】令SKIPIF10，则SKIPIF10，得SKIPIF10.

故答案为：SKIPIF10

3、函数零点个数的判断

①利用代数法，求出所有零点；

②数形结合，通过作图，找出图象与SKIPIF10轴交点的个数；

③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；

④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.

知识点03：二次函数的零点问题

一元二次方程SKIPIF10的实数根也称为函数SKIPIF10的零点.

当SKIPIF10时，一元二次方程SKIPIF10的实数根、二次函数SKIPIF10的零点之间的关系如下表

所示：

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10的实数根

SKIPIF10（其中SKIPIF10）

SKIPIF10

方程无实数根

SKIPIF10的图象

SKIPIF10的零点

SKIPIF10

SKIPIF10