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新蔡县第一高级中学高二2024年9月份月考数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知直线经过点,且法向量,则的方程为(????)
A. B.
C. D.
2.已知直线与直线平行,则实数(????)
A. B.1 C.或1 D.
3.“”是“两条直线平行”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知直线,直线,则直线的倾斜角为(????)
A. B. C. D.
5.已知,,直线:,:,且,则的最小值为(????)
A.2 B.4 C.8 D.16
6.已知圆与圆关于直线对称,则的方程为(????)
A. B.
C. D.
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为,,,则该三角形的欧拉线方程为(????)
A. B.
C. D.
8.过原点的直线l的倾斜角为θ,则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为(????)
A.θ B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线,下列说法正确的是(????)
A.直线过定点
B.当时,关于轴的对称直线为
C.直线一定经过第四象限
D.点到直线的最大距离为
10.下列说法正确的是(????)
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为
D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示.
11.若实数满足,则(????)
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.直线(a2+1)x-2ay+1=0的倾斜角的取值范围是.
13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设,,动点M满足,则动点M的轨迹方程为.14.直线过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍,则直线l的点法式方程是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知坐标平面内三点,,.
(1)求直线,,的斜率和倾斜角;
(2)若为的边上一动点,求直线的斜率的取值范围.
16.若直线l的一般式方程为,直线l经过点,求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值,并求此时a的值.
17.已知点,.
(1)设,若直线与直线垂直,求的值;
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程.
18.已知圆心为C的圆经过,两点,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)点P在圆C上运动,求的取值范围.
19.已知直线,点.求:
(1)点关于直线的对称点的坐标;
(2)直线关于直线的对称直线的方程;
(3)直线关于点对称的直线的方程.
参考答案:
1.C2.C3.A4.D5.C6.A7.A8.C
9.BD10.AD11.ABC
12.[,]13.14.
15.(1)解:因为,,,
由斜率公式,可得,
再由直线倾斜角的定义得:
直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为.
(2)如图所示,当直线由绕点逆时针转到时,直线与线段恒有交点,
即在线段上,此时的斜率由增大到,
所以的取值范围为.
16.由直线的一般式方程,
可知直线在轴上的截距为,在轴上的截距为,
所以直线在轴和轴上的截距之和为.
直线经过点,得.因此.
因为,
当且仅当时取等号,所以,此时.
17.(1)直线的斜率为,因为直线与直线垂直,
所以,所以;
(2)
如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点,
点为直线与轴的交点,点为直线与直线的交点,
点为过点作轴的垂线交直线的交点,,,
设夹角为,因为,所以,
因为,,
所以在中,,所以,
因为,所以在中,,
所以,所以,易知,
设交点坐标为,所以,
所以或,所以交点坐标为或,
所以直线方程为或,即或.
18.(1)圆经过,两点,得圆心在的中垂线上,
又圆心C在直线上,联立直线方程有,得,
即圆心坐标为,
又,
故圆C的标准方程为.
(2)设,易知,
则(*),
因为点P在圆C上运动,则,
故(*)式可化简为,,
由得的取值范围为.
19.(1)设,由得,
则,解得,故.
(2)在直线上取一点,
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