第四章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式-2025新高考一轮复习讲义.docxVIP

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.掌握诱导公式，并会简单应用．

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：________________________.

(2)商数关系：________________________.

2．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

余弦

cosα

正切

tanα

－tanα

口诀

奇变偶不变，符号看象限

常用结论

同角三角函数的基本关系式的常见变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cosα.()

(2)若sin(2kπ－α)＝eq\f(3,5)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(3,5).()

(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()

(4)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()

2．(必修第一册P194练习T2改编)(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()

A．sin(－x)＝sinx B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosx

C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx

3．(必修第一册P185T6改编)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)απ，则tanα等于()

A．－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)

4．已知cosα＝eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)α0，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tan?α＋π?cos?－α?tanα)的值为________.

题型一同角三角函数基本关系式

例1(1)(2023·深圳模拟)已知tanα＝－3，则eq\f(sin3α－sinα,cosα)等于()

A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)

(2)(多选)(2023·天津模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则()

A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)

C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)

跟踪训练1(1)已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)αeq\f(π,2)，则cosα－sinα的值为()

A.eq\f(1,2)B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)

(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，则sinθ－cosθ＝________.

题型二诱导公式

例2(1)(2024·安康模拟)若sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，则cos(π－2α)等于()

A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(7,25)D．－eq\f(7,25)

(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()

A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13)D．－eq\f(12,13)

延