2022-2023学年人教A版必修第二册8.docxVIP

8.6.1直线与直线垂直

A级必备知识基础练

1.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()

A.30° B.45°

C.60° D.90°

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()

A.22 B.32 C.52

3.(多选题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是()

A.CC1与B1E是异面直线

B.C1C与AE共面

C.AE与B1C1是异面直线

D.AE与B1C1所成的角为60°

4.(2023全国高一课时练习)若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.

5.(2023全国高一期末)如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为.

6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.

B级关键能力提升练

7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=2.求证:AD⊥BC.

8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?

C级学科素养创新练

9.(2023全国高一课时练习)如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为.

8.6.1直线与直线垂直

1.B

如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.

∵E,F分别为CD,AB的中点,

∴FG∥AC,EG∥BD,

且FG=12AC,EG=12

∵AC=BD,∴FG=EG,

∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.

∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,

∴△EFG为等腰直角三角形.

∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.

2.C在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,

所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角),

设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=5a,AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2.

则tan∠EAB=BEAB=5a

3.ABD由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.

4.60°∵a∥OA,

∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,

又∠AOB=120°,

∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.

∴a与OB所成的角为60°.

5.30°设G为AD的中点,连接GF,GE,如图.

则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.∴GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=12CD=2,则EF与CD所成的角等于EF与GE

又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF,

则△GEF为直角三角形.GF=1,GE=2,∠GFE=90°,

∴在直角三角形GEF中,sin∠GEF=12,∴∠GEF=30°

6.解因为D,E分别是VB,VC的中点,

所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角.

又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,

所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,

于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.

7.证明如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.

因为E是AB的中点,且AD=2,

所以EH∥AD,EH=1.

同理FH∥BC,FH=1.

所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.

因为EF=2,

所以EH2+FH2=EF2,

所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,

所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,

所以AD⊥BC.

8.解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.

设AE∶AB=x,则EFBC=AEAB=x

∴EF=ax.由EHAD=BEAB=1-x,得EH=a

∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×32=32a2(-x2+x)=3

当x=12时,S最大值=38a2,即当