第4讲 万有引力与航天 拔高练习.docxVIP

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专题一力与运动

第4讲万有引力与航天

1.（2021·全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（）

A． B． C． D．

2.（2021·全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（）

A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m

万有引力定律及天体质量和密度的求解

1．天体质量和密度的求解

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).

(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.

①由万有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；

②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).

例题1.在国产科幻片《流浪地球》中，人类带着地球流浪至木星附近时，上演了地球的生死存亡之战。木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星，早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星，其中“木卫三”离木星表面的高度约为h，它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T。已知木星的半径约为R，引力常量为G，则由上述数据可以估算出()

A．木星的质量 B．“木卫三”的质量

C．“木卫三”的密度 D．“木卫三”的向心力

夯实成果练1.(多选)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是()

A．月球平均密度为eq\f(3v2,4πGR2)

B．月球平均密度为eq\f(3v2r,4πGR3)

C．月球表面重力加速度为eq\f(v2,R)

D．月球表面重力加速度为eq\f(v2r,R2)

例题2.科学家麦耶(M.Mayor)和奎洛兹(D.Queloz)对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G。据此可得，行星的质量为()

A.eq\f(4π2,GT2)R2L B.eq\f(4π2,GT2)RL2

C.eq\f(4π2,GT2)L2(L－R) D.eq\f(4π2,GT2)R2(L－R)

夯实成果练2.(多选)2019年4月10日，“事件视界望远镜”项目(EHT)正式公布了人类历史上第一张黑洞照片，引起了人们探索太空的极大热情．星球表面的物体脱离星球束缚能达到无穷远的最小速度称为该星球的逃逸速度，可表示为v＝eq\r(\f(2GM,R))，其中M表示星球质量，R表示星球半径，G为万有引力常量．如果某天体的逃逸速度超过光速c，说明即便是光也不能摆脱其束缚，这种天体称为黑洞，下列说法正确的是()

A．若某天体最后演变成黑洞时质量为M0，其最大半径为eq\f(GM0,c2)

B．若某天体最后演变成黑洞时质量为M0，其最大半径为eq\f(2GM0,c2)

C．若某黑洞的平均密度为ρ，其最小半径为eq\r(\f(3c2,4πρG))

D．若某黑洞的平均密度为ρ，其最小半径为eq\r(\f(3c2,8πρG))

卫星运行参量的分析

1.天体运动中常用的公式

(1)运行天体的线速度v＝eq\f(s,t)＝eq\r(\f(GM,r))＝eq\r(\f(gR2,r))∝eq\f(1,\r(r))(当r≈R时，v＝eq\r(gR))。

(2)运行天体的角速度ω＝eq\f(θ,t)＝eq\r(\f(GM,r3))＝eq\r(\f(gR2,r3))∝eq\f(1,\r(r3))eq\b\lc\(\rc\)(