跟踪训练06 向量法求空间角和距离（解析版）.docxVIP

跟踪训练06向量法求空间角和距离

一．选择题（共15小题）

1．已知，2，、，4，、，2，，则原点到平面的距离是

A． B． C．2 D．

【解答】解：由已知可得，，

设平面的法向量为，

则

取，则平面的一个法向量为，

而，

所以原点到平面的距离．

故选：．

2．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

所以，0，，，0，，，4，，，4，，

则，，

设，，是平面的一个法向量，则，

令，则，又，

所以点到平面的距离为．

故选：．

3．如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为

A． B． C． D．

【解答】解：取的中点，为等边三角形，则，

以为原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

则，

则在上的投影的长度为，

故点到直线的距离．

故选：．

4．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是

A． B． C．2 D．

【解答】解：过点作，的垂线，垂足分别为，，

过点作于，连接，，

因为，面面，面面，面，

所以面，

又面，

所以，

又，，

所以面，

又面，

所以，

在平面上，以，为坐标轴建立平面直角坐标系，

设，，

则，，

所以，

若点到直线和得距离相等，则，即，

所以，

所以当，时，取得最小值为．

故选：．

5．空间中有三点，，，，，，，，，则点到直线的距离为

A． B． C．3 D．

【解答】解：间中有三点，，，，，，，，，

，1，，

的一个单位方向向量为，1，，

，，，，

，

点到直线的距离为．

故选：．

6．如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，连接交于点，连接，

则，，为二面角的平面角，

设，则，

所以．

故选：．

7．已知直线，且向量是直线的一个方向向量，则实数的值为

A． B．1 C．2 D．或2

【解答】解：向量是直线的一个方向向量，直线的斜率，

，解得：或．

故选：．

8．如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为，则

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得，，，，

，

．

故选：．

9．直线的方向向量为

A． B． C． D．

【解答】解：根据直线方程，可得直线的斜率为，

所以直线的一个方向向量为，

又，，，

所以也是直线的一个方向向量．

故选：．

10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为

A． B． C． D．

【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，4，，，0，，，4，，，0，，

所以，4，，，0，，，4，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，所以，0，，

所以到平面的距离为．

故选：．

11．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且．则向量的模长为

A． B．34 C．52 D．

【解答】解：设，则，

所以

．

故选：．

12．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点，到平面的距离之和为

A． B． C． D．

【解答】解：在棱长为2的正方体中，平面，平面，

则，由，得，

在△中，，则，即点为中点，

又因为，平面，平面，因此平面，

于是点到平面的距离等于点到平面的距离，

同理点到平面的距离等于点到平面的距离，

连接，过，分别作的垂线，垂足分别为，，

如图，由，得，解得，

在△中，，

则，

所以点，到平面的距离之和为．

故选：．

13．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则

A．9 B．7 C．3 D．

【解答】解：在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，

且，，，是与的交点，

四边形是平行四边形，是的中点，

，

，，，

，

则．

故选：．

14．如图，设正方体的棱长为．则顶点到面的距离为

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得：平面，

则为三棱锥的高，

由题意得：，

设到平面的距离为，

由，得，

则，解得：，

故到平面的距离为．

故选：．

15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为

A． B． C． D．

【解答】解：因为平面，，面，底面为矩形，

所以，，两两互相垂直，设，，

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，