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重难点突破01求函数中值域、最值常用方法
函数的值域、最值是函数的重要性质,求函数的值域常用的方法有函数单调性法、图像法、换元法、分离常数法、判别式法和基本不等式法等
一.选择题(共28小题)
1.函数在区间,上的最大值是
A. B.(4) C.(1) D.(9)
【解答】解:,
设,
,,
则函数等价为,
则当时,函数取得最大值,,
此时,即(4),
故选:.
2.若函数的定义域为,,则的值域为
A., B., C., D.,
【解答】解:因为的定义域为,,
所以的定义域为,,
令,
因为,,
所以,,
所以,
所以函数的值域即为,,的值域,
由二次函数的性质可知在,上单调递增,
所以,.
故选:.
3.已知函数,,,用表示,中的较小者,记为,,则的最大值为
A. B.1 C. D.
【解答】解:令,即,解得,
所以,
当时,由在定义域内单调递减可得,
当时,由二次函数的性质可得,
综上,函数的最大值为,
故选:.
4.函数且的值域是
A. B. C., D.,
【解答】解:由题意得,2,
故的值域为,.
故选:.
5.函数,,的最大值为
A. B. C. D.
【解答】解:根据题意,,,,
设,则,
则,为二次函数,开口向上且对称轴为,
在,上为增函数,则,
故选:.
6.函数在,上的图象如图所示.则此函数的最大值、最小值分别为
A.3,0 B.3,1 C.3,无最小值 D.3,
【解答】解:由函数图象可知,当时,函数有最大值,最大值为3,无最小值,
故选:.
7.已知函数,则函数的最小值为
A.0.4 B. C.2 D.
【解答】解:因为,
易知在,上单调递增,
所以.
故选:.
8.已知,且满足,则的最小值为
A.4 B.8 C. D.10
【解答】解:,且满足,
则,且,
故,
当且仅当,即时,等号成立,
故的最小值为.
故选:.
9.若正数,满足,则的最小值为
A.4 B.1 C.5 D.2
【解答】解:,
,即,
则,当且仅当即时,等号成立.
故选:.
10.已知函数的定义域为,则的最大值为
A.5 B. C.1 D.
【解答】解:,令,,
,当且仅当,即时取得.
(1).
故选:.
11.已知函数是定义在,上的奇函数,且当,时,,则的最小值是
A. B. C.1 D.2
【解答】解:根据题意,当,时,,变形可得,则有,,
又由是,上的奇函数,
则,
故的值域,,,
故的最小值是.
故选:.
12.已知函数在,上的值域为,,则实数的值是
A. B. C. D.
【解答】解:①当时,函数在,上为增函数,
则,
即;
②当时,函数在,上为减函数,
则,
此方程无解,
综合①②可得,
故选:.
13.函数的值域为
A., B. C., D.,
【解答】解:,
,
原函数的值域为,.
故选:.
14.已知,,,则的最小值是
A. B.1 C. D.
【解答】解:,,,
,当且仅当即时取等号,
的最小值为.
故选:.
15.设函数的定义域、值域分别为集合,,为实数集,则集合是
A. B., C., D.,
【解答】解:根据条件可得,;
则,,所以,,
故选:.
16.已知函数在,上的最大值和最小值分别为,,则
A. B. C.0 D.2
【解答】解:,则,
令,定义域为,,
则,故为奇函数,
所以,
即,故.
故选:.
17.函数在,上的最大值是
A. B.8 C.5 D.6
【解答】解:因为,
所以,
令,
则,
则有,
因为,,
所以,,
由二次函数的性质可知在,上的最大值为:6.
故选:.
18.给定函数,,,用表示,中最小者,记为,,则函数的最大值为
A. B. C. D.2
【解答】解:由双勾函数的性质可知:在上单调递增,在上单调递减;
在上单调递增,
令,解得,
令,
所以的零点为,
当时,,即;当时,,即;
所以,
所以.
故选:.
19.设函数,,若,则函数的最大值为
A. B. C. D.
【解答】解:当时,即,解得或.
又,作出的图象如图:
的最大值为.
故选:.
20.的最小值为
A.3 B. C.4 D.2
【解答】解:令,
则,
在,上是增函数,
故,
故选:.
21.用,表示,两个数中的较小者,已知函数,,,,则的最值是
A.最大值为3,最小值为 B.最大值为3,最小值为1
C.最大值为,无最小值 D.最大值为,无最小值
【解答】解:,
由,与
得交点坐标为,,,,
如图所示:由图象,可知最大值为,无最小值,
故选:.
22.若对,,有,则函数在,上的最大值与最小值的和为
A.4 B.6 C.9 D.12
【解答】解:令,,
令则,,
令则,,
;
为奇函数,则其在对称区间,上的最大值和最小值的和为0,
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