初中数学：解一元二次方程压轴题专项讲练及答案解析.pdfVIP

解一元二次方程

◆思想方法

换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”

的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换

元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验

等。

◆知识点总结

一、直接开平方法解一元二次方程

根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.

直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为2=(≥0)或(+)2=(≥0,≠0)的形式；

②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.

二、配方法解一元二次方程

将一元二次方程配成(+)2=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方

法．

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为2++=0(≠0)的形式；②方程两边同除以

二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方

法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

三、公式法解一元二次方程

当2―4≥0时，方程2++=0(≠0)通过配方，其实数根可写为=―±2―4的形式，这

2

个式子叫做一元二次方程2++=0(≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解

一元二次方程的方法叫做公式法.

四、因式分解法概念

当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次

方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

◆典例分析

【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长

的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程(2―1)2―5

2+4=02―12―1=2―5+4=0

(―1)，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴(―1)

=0=1=4=12―1=1=±=42―1=4=±

(―4)，解得1，2．当时，，∴2；当时，，∴

==―==―

5．综上所述：12，22，35，45．

请利用以上方法解下面方程：

4―22―8=0

（1）；

（2）(2+3)2―9(2+3)+20=0；

3―18

（3）―=3．

23―1

【思路点拨】

（1）设2=，则2―2―8=0，解得1=4,2=―2，根据=20，得出2=4，求解即可；

（2）设2+3=，则2―9+20=0，解得：1=4,2=5，分别求解当=4时，和当=5时，方程

2+3=的解即可；

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