高三一轮复习-指数函数与对数函数(带答案).docVIP

个性化辅导授课教案

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教学内容

指数函数与对数函数

指数函数

【考情解读】

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；

2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；

3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

【重点知识梳理】

1．根式的性质

(1)(eq\r(n,a))n＝a.

(2)当n为奇数时eq\r(n,an)＝a.

当n为偶数时eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?a≥0?－a?a0?)).

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：an＝a·a·…·eq\o(a,\s\do4(n个))(n∈N*)．

②零指数幂：a0＝1(a≠0)．

③负整数指数幂：a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p∈N*)．

④正分数指数幂：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m、n∈N*，且n1)．

⑤负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m、n∈N*，且n1)．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a0，r、s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a0，r、s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a1

0a1

图象

定义域

(1)R

值域

(2)(0，＋∞)

性质

(3)过定点(0,1)

(4)当x0时，y1；

x0时，0y1

(5)当x0时，0y1；

x0时，y1

(6)在(－∞，＋∞)上是增函数

(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

【高频考点突破】

考点一指数幂的运算

例1、(1)计算：(124＋22eq\r(3))eq\f(1,2)－27eq\f(1,6)＋16eq\f(3,4)－2×(8－eq\f(2,3))－1；

(2)已知xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝3，求eq\f(x2＋x－2－2,x\f(3,2)＋x－\f(3,2)－3)的值．

【探究提高】

根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

【变式探究】计算下列各式的值：

(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))－eq\f(2,3)＋(0.002)－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0；

(2)eq\f(1,\r(5)＋2)－(eq\r(3)－1)0－eq\r(9－4\r(5))；

(3)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),?a\f(1,4)b\f(1,2)?4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a0，b0)．

考点二指数函数的图象、性质的应用

例2、(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()

A．a1，b0

B．a1，b0

C．0a1，b0

D．0a1，b0

【答案】(1)D

【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.

(2)求函数f(x)＝3eq\r(x2－5x＋4)的定义域、值域及其单调区间．

【解析】依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，

∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．

【探究提高】

(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．

【变式探究】(1)函数y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的图象大致为 ()

【答案】A

【解析】y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝1＋eq\f(2,e2x－1)，当x0时，e2x－10，且随着x的增大而增大，故y＝1＋