重难点突破06 证明不等式问题（十三大题型）（解析版）.docxVIP

重难点突破06证明不等式问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳总结 2

题型一：直接法 2

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 6

题型三：分析法 11

题型四：凹凸反转、拆分函数 14

题型五：对数单身狗，指数找朋友 20

题型六：放缩法 24

题型七：虚设零点 31

题型八：同构法 37

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 43

题型十：分段分析法、主元法、估算法 50

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 55

题型十二：函数与数列不等式问题 60

题型十三：三角函数 67

03过关测试 72

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

题型一：直接法

【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．（参考数据：）

【解析】（1）由题意得，

当时，在上恒成立，在上单调递减，

当时，令，解得．

当时，，当，．

所以在上单调递减，在上单调递增；

综合得：当时，在上单调递减，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）可知，当时，的最小值为．

要证成立，需成立，

即证．

令，则．

令，得（负值舍去）．

当时，；当时，．

因此在上单调递减，在，上单调递增．

所以当时，取得最小值，，

故当时，．

【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【解析】（1）的定义域为，．

若，则，在上单调递减：

若，则由得，当时，；当时，；

故在上单调递减，在上单调递增；

故当时，在上单调递减：

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值．

所以，从而．

设，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故当时，，

故当时，，即；

方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值，

所以，从而，

令，，

当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，当等号成立；

所以，当时，，

即.

【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．

(1)若有3个极值点，求a的取值范围；

(2)若，，证明：．

【解析】（1）由有3个极值点，

可得到具有3个变号零点，

当时不是的零点，

则可得在有3个交点，

构造函数，，

则，令，解得，

所以当，，单调递增，

当，，单调递减，

当，，单调递增，

所以，

而当时，，当时，，当时，,

所以,

则的取值范围为.

（2）构造函数

则，且，

构造函数，则，

再令，则，

因为时，则，在单调递增，

而，所以在单调递增，

所以，所以在单调递增，

故，即.

【变式1-2】已知函数，．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【解析】（1）的定义域为，，

令解得，又因为当时，为增函数，

故当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

故，故．

（2），，则，

故当时，，则在单调递增；

当时，，则在单调递减；

故．

又因为，所以（当且仅当时，取“”），

所以．

【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【解析】（1）由题意知，

当时，，所以在上单调递减；????

当时，令，解得，

令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增

（2）由（1）得，????

要证，即证，即证，

令，则，????

令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

则恒成立，

所以当时，.

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.

(1)求的取值范围；

(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；

(3)若，证明：.

【解析】（1）令，得，

令，得，

①，解得，

②，解得，

所以的取值范围为.

（2），则，

令，得，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，

又，

当时，无零点，

所以与不互.为“零点相邻函数”；

当时，，函数的零点为，

所以与互为“零点相邻函数”；

当时，，又因为，

所以此时在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”；

当时，，又因为