重难点突破08 利用导数解决一类整数问题（四大题型）（解析版）.docxVIP

重难点突破08利用导数解决一类整数问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 2

题型二：整数解问题之直接限制法 9

题型三：整数解问题之虚设零点 14

题型四：整数解问题之必要性探路 18

03过关测试 24

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：

1、分离参数、分离函数、半分离

2、直接限制法

3、虚设零点

4、必要性探路

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离

【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】原不等式等价于，设，，

则，令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

又，时，，

因此与的图象如图，

当时，显然不满足题意；

当时，当且仅当，或.

由第一个不等式组，得，即，

由第二个不等式组，得，该不等式组无解.

综上所述，.

故选：A.

【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，得有两个实根，

设，则，

令，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故当时，函数取得极大值，且，

又时，；时，；当时，，，

作出函数的大致图象，如图所示：

直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，

由题意知，又，，

因为存在唯一的整数，所以，

又直线与的图象有两个交点，

由图可知：，即.

故选：C.

【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，

即的解集中有且仅有两个大于2的整数，

构造函数，

即的解集中有且仅有两个大于2的整数，

当时，对于，，

即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.

所以.

.

若，即，

设，

，

设，

，

在上递减，且，

所以当时，，递减，

由于，

所以当时，，

所以当时，递减，

所以，

所以当时，恒成立，

即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.

所以，即，

解得，所以的取值范围是.

故选：D

【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又当时，，当时，且，

作出的函数图象如图所示：

由仅有一个整数解，

得只有一个整数解，

设，由图象可知：

当时，在上恒成立，不符合题意，

当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，

所以，即，解得．

故选：D．

【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，且，可得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，可得，

且，

由题意可得，解得，

所以的取值范围是.

故选：C.

【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（????）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】令，得.

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

如图，分别作出函数与的图象，

其中直线恒过定点.

由图可知，，，

存在唯一的整数，使得，则需，

故实数a的取值范围是，

其中，，

而，，

故选：AC.

【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】函数存在唯一的整数，使得，

设与,

即存在唯一的整数，使得在直线上方,

，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,，

若要存在唯一的整数，使得在直线上方，

则或，代入得或，

解得,

故答案为：.

题型二：整数解问题之直接限制法

【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为．

【答案】

【解析】恒成立，

等价于.

令，，则，

注意到时，，，时，.

则在上单调递减，在上单调递增，则.

则，则

.

令，.

当，，故满足条件；

当，则在上单调递减，

故.

令，.

则，得在上单调递增，

时，，不合题意；

综上，整数x的最大值为.

故答案为：.

【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．

【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）

【解析】由可知，，

又在上有最小值，

所以在上有变号零点且在