第十八章平行四边形单元复习专题正方形的再探究--2024-2025学年人教版初中数学八年级下册.pptxVIP

教学目标:教学设想:1.掌握正方形的概念及性质，利用正方形的性质解决相关问题.2.培养学生的发现问题，分析问题，解决问题的能力.3.使学生体会模型思想，转化思想，类比思想.通过母题中正方形对角线互相垂直，联想到正方形的两组对边上任意两点的连线:①如果互相垂直，那么可以通过构造全等三角形得到这两条线段相等.②如果相等，那么同样可以得到这两条线段互相垂直.从而得出正方形中十字架模型,进而用于解决正方形中的翻折等问题.

1、正方形有哪些判定方法？复习导入：1、定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、对角线互相垂直的矩形是正方形4、有一个角是直角的菱形是正方形5、对角线相等的菱形是正方形6、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形

矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.议一议

例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.母题：（人教版八年级下册第58页例5）解题思路：首先根据题意画出图形，然后根据题意找出题目的已知条件和要证明的结论；根据正方形的性质可得AC⊥BD，AO=BO=CO=DO，从而判定△ABO,△BCO,△CDO,△DAO的形状，最后根据SAS证明四个三角形全等.

例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC=BD,AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.母题：（人教版八年级下册第58页例5）

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BF＝CE.变式一：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵∠AOF＝90°，∴∠BAE＋∠OBA＝∠AOF＝90°.又∵∠ABE＝∠CBF＋∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴BF＝CE.

如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，AE＝BF.AE与BF之间有怎样的位置关系？请说明理由．解：AE⊥BF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C=90°.又∵AE＝BF，∴△ABE≌△BCF(HL)．∴∠BAE＝∠CBF.又∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BOE＝90°.∴AE⊥BF.变式二：

如图所示,在正方形ABCD中，E是边CD,上的点,（点E不与C、D重合），连接BE，M是BE上的点，过点M作GM⊥BE交BC于点F，交AD于点G,求证：BE=FG.证明：过点G作GP⊥BC于点P.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°.∴四边形ABPG是矩形．∴PG＝AB.∴PG＝BC.∵∠EBC＋∠BEC＝90°,∠EBC＋∠GFP＝90°,∴∠BEC＝∠GFP.又∵∠BCE＝∠GPF＝90°，∴△CBE≌△PGF(AAS)．∴BE＝FG.变式三：分析：通过BE⊥FG联想到过点G作BC的垂线，构造全等三角形，从而得到BE=FG.

如图，在正方形ABCD中，点M，E，N，F分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，MN交于点O，∠FON＝90°，EF＝5.求MN的长．解：过点B作BP∥MN交GD于点P，过点C作GQ∥EF交AD于点Q，BP与GQ交于点O′，则四边形BPMN和四边形CQFE均为平行四边形，∴EF＝CQ，MN＝BP.∵∠FON＝90°，BP∥MN，CQ∥EF，∴∠BO′F＝90°.由变式1，得△BCP≌△CDQ，∴BP＝CQ.∴MN＝EF＝5.变式四：

正方形中“十字架模型”结论：分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段满足：①若垂直，则相等；②若相等，则垂直.

1.如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则MN的长度为_________.?

2.如图，在Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，交AC