高三数学题型精炼（24春·二轮+三轮·目标一本班）_第9讲_大题再突破之立体几何.pdf

第9讲大题再突破之立体几何

重点题型—墙角建系

练1

如图，在正⽅体中，，，，，，分别是棱，，

，，，的中点，求证：

（1）直线平⾯；

（2）直线平⾯．

练2（2020·河北邯郸市模拟【理】（改编））

如图，在四棱锥中，底⾯，，，

点为的中点．平⾯交侧棱于点四边形为平⾏四边

，，

形．

（1）求证：平⾯平⾯；

（2）若，建⽴合适的空间直⻆坐标系，并写出及⾯的⼀个法向量．

第9讲⼤题再突破之⽴体⼏何23

重点题型—向量法求解空间角

练3（2022·天津）

直三棱柱中，，，为中点，为

中点，为中点．

（1）求证：平⾯；

（2）求直线与平⾯的正弦值；

（3）求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．

练4（2020·天津）

如图，在三棱柱中，平⾯，，，

，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中

点．

（1）求证：；

（2）求⼆⾯⻆的正弦值；

（3）求直线与平⾯所成⻆的正弦值．

24⾼三数学（24春·⼆轮+三轮·⽬标⼀本班）

重点题型—探索性问题

练5（2022·湖北襄阳市四模）

如图，四棱锥中，平⾯平⾯，平⾯平⾯，四边

形中，，，，．

（1）求证：平⾯；

（2）设，若直线与平⾯所成的⻆为，求线段的⻓．

重点题型—最值问题

练6（2021·全国卷甲卷【理】）

已知直三棱柱中，侧⾯为正⽅形．，，分别

为和的中点，为棱上的点，．

（1）证明：；

（2）当为何值时，⾯与⾯所成的⼆⾯⻆的正弦值最小？

第9讲⼤题再突破之⽴体⼏何25

第9讲大题再突破之立体几何

练1

解答：（1）在正⽅体中，设棱⻓为

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建⽴如图所⽰

的空间直⻆坐标系

则，，，，

所以，，

设平⾯