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第21讲三角函数的图象和性质
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1.(人A必一P213习题T7改编)函数y=2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,6)))的定义域是(D)
A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≠\f(π,12)+kπ,k∈Z))
C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≠\f(π,6)+\f(kπ,3),k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≠\f(π,9)+\f(kπ,3),k∈Z))
【解析】由3x+eq\f(π,6)≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得x≠eq\f(π,9)+eq\f(kπ,3),k∈Z,所以函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≠\f(π,9)+\f(kπ,3),k∈Z)).
2.(人A必一P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上单调递减的是(A)
A.y=|sinx| B.y=cosx
C.y=tanx D.y=coseq\f(x,2)
【解析】y=|sinx|的最小正周期为π,且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上单调递减,y=cosx的最小正周期为2π,y=tanx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上单调递增,y=coseq\f(x,2)的最小正周期为4π.
3.将函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度,再将图象上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为(B)
A.y=sinx B.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(π,3)))
C.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x-\f(2π,3))) D.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))
【解析】将函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后,得到函数y=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))-\f(π,3)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变),得到函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(π,3)))的图象.
4.(人A必一P241T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为__y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(2π,3)))__.
【解析】由图象可知A=2,eq\f(T,2)=eq\f(5π,12)+eq\f(π,12)=eq\f(π,2),所以T=π,所以ω=2,所以三角函数的解析式是y=2sin(2x+φ).因为函数的图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,12),2))这一点,把点的坐标代入三角函数的解析式,得2=2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,12)))+φ)),所以φ-eq\f(π,6)=2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,φ=eq\f(2π,3)+2kπ,k∈Z.
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