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27．3圆中的计算问题

第1课时弧长及扇形面积的计算

弧长及扇形的面积

课标要求

【知识与技能】

理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算．

【过程与方法】

经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力

【情感态度】

通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法．

【教学重点】

弧长及扇形面积计算公式．

【教学难点】

应用公式解决问题．

教学过程

一、情景导入，初步认识

在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

【教学说明】

教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备．

二、思考探究，获取新知

探究1：探索弧长的计算公式

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的eq\f(1,360)；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍．

解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送eq\f(20π,360)＝eq\f(π,18)cm；

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×eq\f(20π,360)＝eq\f(nπ,18)cm，

根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？

【归纳结论】

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为l＝eq\f(nπR,180).

探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2；

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的eq\f(1,360)，即eq\f(1,360)×9π＝eq\f(π,40)，n°的圆心角对应的圆面积为n×eq\f(π,40)＝eq\f(nπ,40)m2.

请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．

【归纳结论】

S扇形＝eq\f(n,360)πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．

【教学说明】

学生交流讨论；在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，自己得出几个公式．

三、运用新知，深化理解

1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1mm)．

分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根据弧长公式l＝eq\f(nπR,180)可求得AB的长，其中n为圆心角，R为半径．

解：R＝40mm，n＝110°

∴AB的长＝eq\f(n,180)πR＝eq\f(110,180)×40π≈76.8mm.

因此，管道的展直长度约为76.8mm.

2．扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)．

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

解：AB的长＝eq\f(120,180)π×12≈25.1cm

S扇形＝eq\f(120,360)π×122≈150.8cm2

因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.8cm2.

3．如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6πcm，CD的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝eq\f(1,2)lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，

根据已知条件有：

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6π＝\f(n,180)πR①,10π＝\f(n,180)π（R＋12）②))

eq\f(①,②)得eq\f(3,5)＝eq