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函数的对称性与周期性（归纳总结）

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f（a+x）=f（a-x）==f（x）关于x=a对称

f（a+x）=f（b-x）==f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）

=-f（a-x）==f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）

+2b==f（x）关于点（a，b）对称

f（a+x）=-f（b-x）+c==f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称

y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0

对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称

例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对

称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于

x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

∴b2t=a，==t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.

例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对

称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于

x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

∴2t-b=a，==t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.

二、函数的周期性

令a,b均不为零，若：

1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==函数最小正周期

T=|a|

2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==函数最小正周期

T=|b-a|

3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==函数最小正周期

T=|2a|

4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==函数最小正周期

T=|2a|

5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==函

数最小正周期T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。

第2点解析：

令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）

==T=ba

第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

①f（x）=-f（x+a）……

②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|

第4点解析：

f（x+2a）=1/f（x+a）==f（x+a）=1/f（x+2a）

又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

∴函数最小正周期T=|2a|

第5点解析：

∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f