北京市顺义区第一中学2024届高三上学期期中数学试题 含解析.docx

2023—2024顺义一中高三第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，，，

根据交集的运算可知，.

故选：A

2.在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据复数的几何意义写出复数；再根据共轭复数的定义即可得出结果.

【详解】因为复数对应的点的坐标是

所以

则

故选：B

3.已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由圆心坐标可以设出圆的标准方程，再将点C代入可求出圆的半径，最后整理成圆的一般式方程即可.

【详解】因为圆的圆心坐标为，所以设圆的方程为：，

由点在圆上，则，得，

则圆的方程为：，即，

故选：A.

4.已知平面向量，，，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先计算，然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.

【详解】因为，，，

所以，

又，

所以，

解得，

故选：B.

5.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，

【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，

则Sn

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1?S

即nan+1?Sn

两式相减得：an=nan+1?(n?1)

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即Sn=na1+

则Snn=

反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1

即Sn=nS

当时，上两式相减得：Sn?Sn?1

于是an=a

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

6.金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（）

A.1 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意画图利用图形在正四棱锥中设相关的量结合，线面关系找出金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，在几何体中建立关系求出即可.

【详解】如图，

设正四棱锥的底面边长为，

设为底面的中心，高为，

设为的中点，则设斜高为，

连接，设侧面与底面所成的角为，

由于，

所以即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，

由平面，平面,

所以

所以，

因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，

即，

又，

所以，

故选：C.

7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，

因为，则，

可得，

则，

，

即为钝角，

所以；

法二：圆的圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，连接，

可得，则，

因为

且，则，

即，解得，

即为钝角，则，

且为锐角，所以；

方法三：圆的圆心，半径，

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为，即，

则，整理得，且

设两切线斜率分别为，则，

可得，

所以，即，可得，

则，

且，则，解得.

故选：B.

8.已知函数，则（）

A.在单调递增，且图象关于直线对称

B.在单调递增，且图象关于直线对称

C.在单调递减，且图象关于直线对称

D.在单调递减，且图象关于直线对称

【答案】B

【解析】

【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、对称性确定正确答案.

【详解】，

由于，

所以在单调递增，

，所以不关于直线对称.

，所以关于直线对称.

故选：B

9.若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正