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7.3.2复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义
(用时45分钟)
基础巩固
1.已知i为虚数单位,,,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,
.
故选:D.
2.()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选:B.
3.计算的结果是()
A.-9 B.9 C.-1 D.1
【答案】B
【解析】
,
故选:B.
4.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是
故选:A
5.()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选:C.
6.复数的代数形式是_____________.
【答案】
【解析】.
故答案为:.
7.在复平面内,把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°,所得向量对应的复数为,则复数是_____________.(用代数形式表示).
【答案】
【解析】由题意得.
8.计算下列各式,并作出几何解释:
(1)
(2)
(3)
(4).
【答案】(1)-4,几何解释见解析(2),几何解释见解析(3),几何解释见解析(4),几何解释见解析
【解析】(1)原式.
几何解释:设,
作与对应的向量,然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长
为原来的倍,得到一个长度为4,辐角为π的
向量,则即为积所对应的向量.
(2)原式
.
几何解释:设,
作与对应的向量,然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转315°,再将其长度缩短
为原来的,得到一个长度为、辐角为的
向量,则即为积所对应的向量.
(3)原式
.
几何解释:设,作与对应的向量,
然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转,再将其长度
缩短为原来的,得到一个长度为,辐角为的向量,
则即为所对应的向量.
(4)原式
.
几何解释:设,
作与对应的向量,然后把向量
绕原点0按顺时针方向旋转,再将其长度缩短为原来的,
得到一个长度为,辐角为的向量,
则即为所对应的向量.
能力提升
9.复数是方程的一个根,那么的值等于()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,
故选:B
10.设对应的向量为,将绕原点按顺时针方向旋转所得向量对应的复数的虚部为________.
【答案】
【解析】所得向量对应的复数为
,故虚部为,
故答案为:.
11.把复数与对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,与向量重合且模相等,已知,求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【解析】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
素养达成
12.如图,复平面内的是△ABC等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别为,求点C的坐标.
【答案】C坐标为
【解析】将原点0平移至A点,建立平面直角坐标系,则
,
将绕点A顺时针方向旋转得
,
∴在原平面直角坐标系xOy中,
点C坐标为,即.
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