通关秘籍09 圆锥曲线大题（易错点+六大题型）（解析版）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）.docxVIP

秘籍09圆锥曲线大题

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：解题规范

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】极点、极线

【题型二】自极三角形与调和点列

【题型三】齐次化法解决斜率相关问题

【题型四】定比点差法

【题型五】定点、定值

【题型六】求轨迹方程型

概率预测

☆☆☆☆☆

题型预测

解答题☆☆☆☆☆

考向预测

极点、极线

圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。

一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。

易错点一：解题规范

圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。

例（2023年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

【极线思维】记，点B的极线过点A，设极线与PQ交于点D，则B，P，D，Q为调和点列，AB，AP，AD，AQ为调和线束，而AB平行y轴，故MN的中点为y轴于极线的交点

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得：，

则，解得，

可得，

因为，则直线，

令，解得，即,

同理可得，则

，所以线段的中点是定点.

变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（????）

A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点

C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为

【答案】BCD

【详解】易知圆心，半径，如下图所示：

对于A，圆心到直线的距离为，

可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为，

所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误；

对于B，设，可得；

易知，由，

整理可得，

同理可得，即可知两点在直线上，

所以直线的方程为，即，

令，解得，

所以直线恒过定点，即B正确；

对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小，

点与圆心之间的距离为，所以，故C正确；

对于D，四边形的面积为，

根据切线长公式可知，当最小值，最小，

，所以，故四边形的面积为，即D正确；

故选：BCD

【题型一】极点、极线

二次曲线的极点极线

（1）.二次曲线极点对应的极线为

（半代半不代）

（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程

①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为

则极线为切点弦；

②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，

则极线为切线；

③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，

分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；

（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）

A． B． C． D．

解析：直线是点对应的极线，则方程为，即．故选A．

【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．

解析：设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得

，令，可得，故直线过定点．

【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．

【答案】

【详解】设，则满足；

易知圆的圆心为，半径；

圆的圆心为，半径，如下图所示：

易知，所以，即，整理可得；

同理可得，

即是方程的两组解，

可得直线的方程为，联立，即；

令，可得，即时等式与无关，

所以直线恒过定点，可得；

又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；

最大值为

【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

????

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求以为直径的圆的方程；

(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）解：因为椭圆经过点，

且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，

可得，则，所以，解得，

所以椭圆的标准分别为.

（2）解：由