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重难点突破01统计与概率综合

1．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：

试验序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

伸缩率

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548

伸缩率

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．

（1）求，；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

【解答】解：（1）根据表中数据，计算，2，，，填表如下：

试验序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

伸缩率

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548

伸缩率

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

9

6

8

15

11

19

18

20

12

计算平均数为，

方差为．

（2）由（1）知，，，

所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

2．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；

（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．

【解答】解：（1）当漏诊率（c）时，

则，解得；

（c）；

（2）当，时，

（c）（c）（c），

当，时，（c）（c）（c），

故（c），

所以（c）的最小值为0.02．

3．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；

对照组

试验组

（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：，

0.100

0.050

0.010

2.706

3.841

6.635

【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为

．

（2）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，

因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，

所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，

所以这组数据的中位数是；

填写列联表如下：

合计

对照组

6

14

20

试验组

14

6

20

合计

20

20

40

根据列联表中数据，计算，

所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．

4．甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数

未准点班次数

240

20

210

30

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：．

0.100

0